Выбираем пропорцию для салата

а) Стоимость одной порции салата составит для Юного экономиста $20+10k$ д.e., а значит, он сможет потребить $\dfrac{1000}{20+10k}$ порций. Полезность от каждой порции равна $\sqrt{k}$, а значит итоговая полезность ЮЭ будет равна: $$U(k)=\frac{100\sqrt{k}}{2+k}$$
Нам нужно найти значение $k\in [1/4;4]$, при котором значение этого выражения максимально. Это можно сделать стандартным методом — с помощью производной. Есть и решение, не требующее знания производной: разделим числитель и знаменатель на $\sqrt{k}$: $$U(k)=\frac{100}{\sqrt{k}+2/\sqrt{k}}$$
Значение дроби максимально, когда знаменатель минимален. Заметим, однако, что $\sqrt{k}+2/\sqrt{k}=\left(\sqrt[4]{k}-\sqrt{2}/\sqrt[4]{k} \right)^2+2\sqrt{2}$. Поэтому знаменатель минимален тогда и только когда, когда $\sqrt[4]{k}-\sqrt{2}/\sqrt[4]{k}=0$, то есть $k=2$. (Этот же результат можно было получить с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим)

б) Первый способ

Общие затраты на оба типа порций будут равны $(20+10k_1)\cdot x_1+(20+10k_2)\cdot x_2=1000$. Общая полезность: $$U=x_1 \sqrt{k_1}+x_2\sqrt{k_2}$$
Пусть $x_1$ и $k_1$ выбраны на каких-то произвольных (необязательно оптимальных) уровнях. Тогда $U=const_1+x_2\sqrt{k_2}$, а расходы равны $const_2+(2+k_2)\cdot x_2=100$. Отсюда
$$U=const_1+\frac{100-const_2}{2+k_2}\sqrt{k_2}$$
Максимизируя эту функцию (она с точности до констант похожа на функцию в пункте а) получаем, что $k_2^*=2$ независимо от $k_1$. Аналогично $k_1^*=k_2^*=2$ — ЮЭ не сможет получить больше полезности, так как он не будет пользоваться возможностью делать разные салаты.

Второй способ
Докажем, что ЮЭ не может получить полезность больше, чем в а), то есть больше, чем $25\sqrt{2}$. Назовем «порциями первого типа» те, в которых пропорция помидоры: огурцы равна $k_1$, а «порциями второго типа» те, в которых пропорция равна $k_2$. Пусть ЮЭ готовит $x_1$ порций первого типа и $x_2$ порций второго типа. Обозначим его расходы на порции первого типа за $E_1$, а расходы на порции второго типа — за $E_2$.
Полезность ЮЭ равна $$U=x_1\sqrt{k_1}+x_2\sqrt{k_2}=\frac{E_1}{20+10k_1}\sqrt{k_1}+\frac{E_2}{20+10k_2}\sqrt{k_2}$$
Заметим, однако, что из пункта а) мгновенно следует, что $\dfrac{\sqrt{k_1}}{20+10k_1}=\dfrac{\sqrt{2}}{40}$ и $\dfrac{\sqrt{k_2}}{20+10k_2}=\dfrac{\sqrt{2}}{40}$. Поэтому
$$U=„\frac{\sqrt{2}}{40} E_1+\frac{\sqrt{2}}{40} E_2=\frac{\sqrt{2}}{40}\cdot(E_1+E_2)=\frac{\sqrt{2}}{40}\cdot 1000=25\sqrt{2}$$
что и требовалось доказать.