Оптимальная складчина

Саша и Максим живут в одной комнате в общежитии. Для счастливой жизни им очень нужны пылесос и WiFi-роутер. Оба соседа считают, что эти товары необходимо купить, но насчет того, какого качества должны быть эти роутер и пылесос, мнения ребят расходятся.

Счастье Саши можно рассчитать по формуле $U_S=4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-T_S$, где $U_S$ - уровень счастья Саши, $r$ - качество роутера, $p$ - качество пылесоса, а $T_S$ - расходы Саши (в рублях). Счастье Максима, в свою очередь, задается уравнением $U_M=\sqrt{r}+6\sqrt{p}-T_M$, где $T_M$ - расходы Максима. Роутер качества $r$ стоит $r$ рублей; пылесос качества $p$ стоит $2p$ рублей. Каждый из ребят принимает решения так, чтобы его счастье было максимально.

1. Саша учится на экономическом факультете и не любит, когда товары находятся в коллективной собственности. Саша предлагает следующий механизм: ­ он купит роутер, а Максим -­ пылесос. Пользоваться обоими товарами соседи будут вместе. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями, и уровни счастья соседей.
2. Максим учится на юридическом факультете и считает схему из пункта 1 несправедливой (пылесосы дороже роутеров), а свой уровень счастья в 1 - слишком низким. Он предлагает другой механизм: ­ Саша покупает роутер, Максим -­ пылесос, но потом расходы на оба товара делятся поровну. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями и уровни счастья соседей в новой ситуации. Верно ли, что счастье Максима действительно вырастет по сравнению с пунктом 1? Если ваш ответ <<нет>>, приведите содержательное экономическое объяснение того, почему Максиму не становится лучше.
3. Допустим, что, как и в пункте 2, соседи договорились о разделении расходов, но теперь расходы можно делить не поровну. А именно, допустим, что, после того как Саша покупает роутер, а Максим --- пылесос, один из друзей выплачивает другому компенсацию таким образом, чтобы Максим в итоге оплатил долю $\alpha$ ($0<\alpha<1$) от суммарных расходов соседей. Можно ли подобрать $\alpha$ таким образом, чтобы счастье каждого из соседей выросло по сравнению с пунктом 1? Если ваш ответ <<да>>, приведите содержательное экономическое объяснение того, почему это возможно.