Доллар и гречка

Решение этой задачи предполагает ввод некоторых предпосылок и допущений. Первое допущение касается срока погашения кредита. Будем предполагать, что кредит гасится в тот момент, когда будет продана гречка. Второе допущение касается темпа роста цен на гречку и обменного курса рубля в течение месяца. В нашем предположении будем считать, что внутри месяца данные величины растут линейно. Третье предположение касается способа начисления процентов по целевому кредиту на гречку в случае досрочного погашения кредита. Для простоты анализа предположим, что проценты начисляются линейно, т.е. за $X$ месяцев пользования кредитом надо заплатить $X\cdot 20/12~\%$ (или 1,67% в месяц). Семья получает доход и осуществляет расходы в конце месяца и может осуществлять финансовые операции со средствами, оставшимися после погашения текущих расходов, начиная с 1-го числа следующего месяца (т.е. доход за январь станет доступен для вложений только 1 февраля и т.д.).

Участники вправе в ходе решения сделать другие предположения относительно указанных величин: например, ввести предпосылку о сложном характере роста процентов по кредиту внутри года, т.е. месячный процент будет вычисляться как $\sqrt[12]{1,2}-1$, или что доллар растет скачком 1 числа каждого месяца. Данные вариации будут засчитываться как корректное решение, если логика рассуждений и приведенные расчеты в рамках сделанных предпосылок будут верны.

1. Заметим сначала, что поскольку банк выдает целевой кредит, то потратить его куда либо кроме как на покупку гречки нельзя. Кроме того, предполагая, что на начало года свободных денежных средств у семьи нет, то вложить дополнительные средства кроме тех, что взяты у банка, также нельзя. Таким образом, для принятия решения, стоит ли реализовывать проект с гречкой, необходимо посчитать, принесет ли он прибыль безотносительно других решений.

   Гречка, купленная на 50 000 рублей, к 1 июля будет стоить $50\:000\cdot 1,05^6$ что приблизительно составляет 67 005 рублей. Выплатить банку необходимо $50\:000\cdot 1,1 =55\:000$ (за полгода) рублей. Таким образом, чистый доход проекта - 12 005 рублей и его нужно реализовывать.

   Рассмотрим теперь, стоит ли класть деньги на депозит в банк. При росте курса рубля на 1 рубль в месяц минимальная месячная доходность составит $72/71-1=1,4~\%$. Соответственно, за полгода доход от вложения всей свободной наличности в доллары будет превышать доход от депозита (даже с простыми процентами $1,4~\%\cdot 6>4~\%$).

   Заметим, что доходность от вложений в гречку превышает доход от роста курса доллара (самый большой темп роста курса доллара в январе $61/60-1 =1,67~\%<5~\%$). Поэтому даже валютный доход выгодно переводить в рубли и на полученную сумму покупать гречку.
   Составим баланс доходов и расходов семьи по месяцам (см. первую таблицу). Показатели по столбцам означают следующее:

   1. Доход в рублях - семейный доход родителей Сергея.
   2. Расход в рублях - расходы семьи в рублях, каждый месяц увеличиваются на 1%.
   3. Сбережения в рублях - разница между первым и вторым столбцом.
   4. Доход в долларах - тот доход, который получает Сергей за репетиторство
   5. Курс доллара - курс валюты на 1-е число каждого месяца.
   6. Объем инвестиций в гречку за счет дохода (в рублях):
   • на 1 января у семьи нет дохода, чтобы инвестировать в гречку;
   • на 1 февраля они купили гречки на рублевый доход и на сумму от продажи долларового дохода ($10\:000+100\cdot 61=16\:100$);
   • начиная с 1 марта, сумма, указанная в данном столбце, рассчитывается как величина инвестиций в гречку по состоянию на 1 число предыдущего месяца, проиндексированная на 5%, плюс рублевый и долларовый доход за месяц (конвертированный в рубли по курсу на 1-е число текущего месяца). На примере марта это составит $16\:100\cdot 1,05+9500+100\cdot 62=32\:605$ и т.д.
   7. Объем инвестиций в гречку за счет кредита (в рублях) - сумма в 50 000 рублей, проиндексированная каждый месяц на 5%.
   8. Объем погашения кредита - величина, которую необходимо погасить банку за кредит, рассчитывается как 50 000 рублей, на который каждый месяц линейным методом (т.е. не прибавляя суммы процентов к базе долга) начисляются проценты за пользование кредитом по ставке 1,67% (рассчитывается как 20%, деленные на 12 месяцев). Например, 1 февраля сумма процентов составит $50000 +50000\cdot (1+0,0167)$ и т.д.
   9. Чистая стоимость инвестиций в гречку, всего (в рублях) - отражает чистую сумму, которую можно получить, продав гречку в соответствующую дату, если погасить кредит. Рассчитывается как сумма столбцов $(6)+(7)$ за вычетом столбца (8).
   10. Стоимость инвестиций в гречку в долларах - поскольку нам необходимо купить мопед за доллары, то сумму, полученную от продажи гречки, необходимо конвертировать в доллары по курсу на соответствующую дату. Соответственно, значения в столбце (10) получены как значение в столбце (9), деленное на значение в столбце (5).

   

   Из таблицы видно, что на 1 мая у семьи объем чистых инвестиций в гречку (стоимость гречки после возврата кредита) в долларовом выражении составляет 1161 доллар, что меньше 1200 долларов. Также видно, что на 1 июня объема средств хватит, чтобы купить мопед. С учетом линейного роста показателей внутри месяца можно составить уравнение точной даты покупки:
   $$ \left(66892+60775\right)\cdot \left(1+\frac{5}{31\cdot 100} x\right)=1200\cdot 64\cdot \left(1+\frac{1}{31\cdot 100} x\right)+53333\cdot \left(1+\frac{1}{12\cdot 31\cdot 100} x\right)$$
   Откуда $x = 13,72$, что означает, что на 14-й день мая, погасив кредит и продав всю гречку, мопед можно будет купить.

2. Построим аналогичную таблицу.

   
   После того, как курс доллара будет зафиксирован, соотношение доходностей не поменяется. Так что стратегия остается прежней, баланс доходов и расходов семьи приведен во второй таблице на странице 8. По-прежнему, 1 мая покупка недоступна, а 1 июня денег с избытком. Рассчитаем день майской покупки:
   $$(66997+60775)\cdot\left(1+\frac{5}{31\cdot 100} x\right)=1200\cdot 64+53333\cdot\left(1+\frac{1}{12\cdot 31\cdot 100} x\right).$$
   $x=12,04$ т.е. на 13-й день мая мопед можно будет купить.

3. Проверим доходность вложений в доллар в апреле. $64/62-1=3,23~\%$, что меньше, чем доходность от операций с гречкой. Соответственно, в марте всё равно имеет смысл переводить валютную выручку в рубли и покупать гречку. Таким образом, ответ совпадает с пунктом 2