Спрос на продукцию монополиста задаётся невозрастающей функцией. Может ли рост спроса привести:
а) к увеличению и выпуска, и цены;
б) к уменьшению и выпуска, и цены;
в) к уменьшению выпуска и увеличению цены;
г) к увеличению выпуска и уменьшению цены?

Для каждого из пунктов приведите пример, если считаете, что соответствующее поведение монополиста возможно; в противном случае докажите, что такое поведение невозможно.

Под ростом спроса здесь понимается ситуация, когда значение новой функции спроса не меньше значения старой при любой цене и строго больше значения старой хотя бы при какой-то цене.

Комментарии

Оптимальный выбор у монополии в точке MR=MC. Так как спрос вырос при каждой цене,то функция спроса сдвинулась вправо-вверх ,тоже самое произошло и с MR ,а MC осталось прежней .Следовательно,цена увеличится и объём выпуска также.Т.е а) подходит.(тут ещё рисунок прилагался,но я никак не мог его вставить)).
А MR разве всегда убывает? А MC разве всегда возрастает?
Если я не ошибаюсь в стандартной модели да. Есть случаи,когда спрос убывает,а MR возрастает,например, P(q)=2+1/q2 .Если их можно рассмотреть,то я это сдлеаю))
Да, я с Вами согласен, что стандарты у каждого свои. И, на мой взгляд, было бы лучше, если бы Лёша более чётко сформулировал, что он понимает под стандартной моделью.

Посмотрим на Вашу цепочку рассуждений. Поясните следующие два перехода:
1) "функция спроса сдвинулась вправо-вверх ,тоже самое произошло и с MR"
2) "Следовательно,цена увеличится и объём выпуска также"

Какие предположения здесь были сделаны?

1)Функция спроса у меня линейная Q=a-bP
2)Значит MR=a/b - 2Q/b
3)спрос вырос при каждой цене Q=a-bP+z (сдвинется параллельно вверх)
4)MR примет вид MR=a/b+z/b-2Q/b ( сдвинется параллельно вверх)
5)Так как оптимум в точке MC=MR а увеличение спроса не сказывается на MC => она останется прежней значит точка оптимума в новом положении MR будет находится выше,чем в старой(Q2>Q1)=> цена также вырастит.
На рисунке это более наглядно,но я его никак не могу выложить)
Отлично. Для варианта а) есть пример. Теперь осталось разобраться с тремя оставшимися.
Пункт а) это любая стандартная задача из школьного учебника экономики по фирме с изменяющимся спросом)
Если не выкладываются рисунки, попробуй другой браузер (у меня в опере не выкладываются).
Сурен , ты прочитал мои мысли
Функция спроса, которую описал Сурен(где MR возрастает при возрастании Q), даёт нам увеличение P и уменьшение Q при МС = const, причём MC < Pmin
Например, если не ходить далеко:
Было Pd=2+1/Q2 MC=1.
При этих данных MR=2-1/Q2=1, Q=1; P=3
Стало Pd=5+1/Q2 MC=1
MR=5-1/Q2=1, Q=1/2; P=9
Это ответ на пункт в)
Минимизация прибыли - непозволительно вольная трактовка "стандартной модели монополии":)
Согласен в какой - то степени, потому что тут очевидно, что при Q->бесконечности Р->2 и т.к. ТС=Q+TFC, то прибыль будет стремиться к Q-TFC, т.е. также к бесконечности.

Но что же тогда такое "стандартная модель"? :)
И тогда не подойдёт ли этот пример для того, когда мы увеличиваем Р и уменьшаем Q? Ведь мы же не знаем как сравнить бесконечность и бесконечность :)

Под стандартной моделью Лёша имел в виду всего-навсего невозрастающий спрос и неубывающие общие издержки. Сейчас напишу это в условие.
Бесконечности не сравнимы, поэтому пример с бесконечностью не подойдёт.
Так, неубывание издержек вроде не нужно. Стираю обратно.
Но ведь когда MC=const а MR возрастающая то точка пересечения MR=MC это минимум прибыли.Не так ?
Именно это Гриша и написал :)
А вот если MR и MC возрастают вместе...
Если MR и MC возрастают вместе то будет тоже самое,что и в пункте а)
Это можно доказать на твоём примере,только MC=Q^2/20
Случаи когда MC убывает наc не интересует))Значит возможно, 1)MR и MC возрастают ,2) MR убывает MC возрастает ,3)MR возрастает MC const , 4)MR убывает MC const

1)подходит пункт а)
2)подходит так же а)
3)ничего не подходит,так как точка минимума (MR=MC)
4)подходит так же пункт а)

Такие баталии по поводу пункта а).
По поводу б):
Первоначально мы имеем некоторую точку А лежащую на кривой спроса отражающую монопольную цену и оптимальный обьем монополиста.
Далее мы должны перейти в некоторую точку В, которая лежит ниже и левее точки А, при условии что спрос как минимум невозрастает, точка В лежит под изначальной кривой спроса, но во втором случае кривая спроса должна проходить через точку В но тогда не выполняется условие Алексея "значение новой функции спроса не меньше значения старой при любой цене и строго больше значения старой хотя бы при какой-то цене".
По поводу в) сейчас пример постораюсь нарисовать и выложу
Никаких баталий)Просто,я предполагаю,что кроме пункта а) ничего не подходит.
Для пункта в) предлагаю узреть пример. Если не ошибаюсь всем условиям задачи он удоволетворяет.demand.jpg
Не очень ясно какая прямая за что отвечает.Если не турдно,подпиши их.)
Тимур, это не олигополия?
Сурен, надеюсь так будет нагляднее)
demand2.jpg

В принципе такой спрос типичен для олигополии, однако, условиям этой задачи напрямую вроде не противоречит так как спрос "не возрастает", может только противоречит слову "стандартный" , нужно дождаться решения автора.

Да,спасибо за наглядность,согласен,похоже на правду)
Только участки спроса, которые мы будем учитывать, будут как раз другими, если я не ошибаюсь. Ты выделяешь спрос 2 группы до пересечения спросов и спрос 1 группы после. ?!
То,что представил Тимур называется модель рынка доминирующего предприятия с конкурентным окружением и закрытым входом)
Предприятие лидер? Типа, модель дуополии Штакельберга?
Я в этом не очень силён,но по-моему не совсем).И если я не ошибаюсь,при такой MR(как на рисунке у Тимура) точка оптимума не может быть на разрыве.
Ситуацию г) можно получить с помощью того же ломанного спроса, только теперь не выпуклого , а вогнутого вниз,правда там чуть по-сложнее.
После этого я решил просто рассмотреть переход от выпуклого вверх ( $\sqrt{9-x}$ )спроса к линейному( $10-x$ ), ситуация в) в таком случае снова подтвердилась.
Осмелюсь предположить что в) возможно при росте от выпуклого вверх спроса до линейного(если хотите могу привести рисунок)
Обратное предположу насчет г) - возможно при росте от "вогнутого внутрь" спроса до линейного.
Конечно переход в линейный спрос я привожу для удобства, думаю на его месте может быть что-нибудь иное.
Вариант г) Q растёт, P падает.
Сразу извиняюсь за качество рисунка. Из фотающих только телефон под рукой, а камера не весьма. )
В общем, теперь чуть - чуть математики. Скажем, товар покупают 2 группы потребителей.

БЫЛО:
Q1=9-P
Q2=3-0,5*P
MC=3+Q/9
QDобщее=12-1,5*P; => Pd=8-2*Q/3
MR=8-4*Q/3=MC=3+Q/9
13Q/9=5
Q=45/13
P=74/13

СТАЛО:
Q1=9-P
Q2=6-P
PDобщее=7,5-0,5*Q
MR=7,5-Q=MC=3+Q/9
Q=81/20
P=219/40

Q2>Q1
P1>P2

Также, если сдвинуть первый спрос:
Q1=6-0,5*P при Q2=6-P, то оптимум перенесётся в точку пересечения МС с первой MR и Q уменьшится, а Р увеличится.
В числах:
MR=12-4*Q=MC=3+Q/9
37*Q/9=9
Q=81/37
81/37=6-0,5*P
P=282/37

Q уменьшится, Р увеличится, пункт б)
Но тут получается такая вещь, что суммарный рыночный спрос увеличится, т.е. не уменьшится ни при каком из значений Р, но спрос первой группы будет измёнен - произойдёт и угловой сдвиг, и вертикальный, т.к. первоначально Q=9-P, а потом - Q=6-0,5*PDSC00021.JPG

апдейт:
Выделенное жирным шрифтом можно просто посчитать и проверить. Т.к. МС=3+Q/9, то ТС=3*Q+Q2/18+TFC. Далее TFC можно откинуть т.к. при сравнении прибылей в точках пересечения МС с первой и вторыми кривыми MR TFC уйдёт. Далее подставляем все показатели равновесия и находим, что П1-П2 >0 (где П1 при пересечении с первой MR), а это то, что нам и нужно.

Offtop,Собственно я об этом и написал выше -
Ситуацию г) можно получить с помощью того же ломанного спроса, только теперь не выпуклого , а вогнутого вниз,правда там чуть по-сложнее.
- то что у тебя на рисунке выше )
Tолько можно получить чуть проще, первый спрос ломаный "внутрь" а второй просто линейный - результат будет тот же
Я понимаю, просто мне кажется, что твоя модель (ничего, что на "ты"? :) ) относится к модели олигополии, потому что 1 спрос вогнут, а на всех других рынках 1 спрос - выпуклый.
И ещё точка оптимума не может находиться на разрыве MR. :)
Я бы даже сказал,что модель Тимура,подходит для сравнения монополии и рынка доминирующего предприятия.И если их сравнить то можно увидеть,что монополия продаёт по более высокой цене и больше продукции по сравнению с доминирующим предприятием,но если помимо доминирующего предприятия на рынке есть его конкурентное окружение то выпуск вырасти по сравнению с монополией.а цена будет такой же.По-этому к рисунку Тимура нужно добавить конкурентное окружение чей спрос будет прямой линией цены доминирующего предприятия(если смогу выложить,то нарисую))
Так ладно, давай по порядку.С а) и б) вроде выяснили...

В ситуации г) - первый спрос у нас одинакового вида, т.е. вогнутый вниз . ( то что ты собственно нарисовал)
Второй уже собственно неважно какой можно и линию можно и вогнутый, как говорится хрен редьки не слаще.Тут никаких олигополий нет.

В ситуации в) - у меня в примере олигополистичный спрос, однако могу привести рисунок с гладким спросом, где выполняется условие в)
Вобщем главный вывод пока такой, все ситуации кроме б) - возможны, верно?
Насчет оптимума на разрыве, может ты помнишь задачу про "задачу про зайцев", так вот там оптимум как рас оказывался на разрыве.
тут про зайцев

Я не совсем понимаю, что значит вогнутый вниз... Первый участок рыночного спроса - это участок спроса 1 группы(которые готовы платить больше), до пересечения со спросом второй группы.
Если посмотреть на твой рисунок, то у тебя оптимум в точке разрыва MR, т.е. находится на смом начале кривой спроса второй группы, т.е. потребители второй группы не покупают товар, а покупают только люд из 1 группы спроса.
Тогда у тебя точка перегиба должна "переламывать график". Т.к. суммарный спрос больше чем спрос только 1 группы, то дальше наклон будет меньший к оси Q, тогда и общий MR у тебя будет буквой Z и пересечений MR с MC будет три. И не факт, что оптимум попадёт на первое пересечение MR и МС...
Может, я чего - то не вкурил.
так в задаче про зайцев не разрыв,просто MR имеет вертикальный участок)
Да,кроме б) пока всё возможно.
б) тоже возможно если учесть увеличение рыночной кривой спроса, а не каждой из групп по отдельности.
Главный вывод Тимура верный! Выкладываю решение. А пример Оффтопа к пункту в) почти такой, как у меня!
08102009.jpg

Вот по сути то,что я писал немного выше.

Сурен, то есть, в спросе "олигополистичного вида" ,назовем его так, я неправильно нарисовал предельную выручку?

Если честно я не понимаю от чего спрос на продукцию может выглядеть вогнутным, но не может быть выпуклым? Мне кажется спрос всегда формируется под влиянием совершенно разных факторов, поэтому чисто математически в этой задаче одно условие к спросу - он не возрастает, и имея модель однозначно определить условия необходимые для ее существования нельзя.То есть если спрос как у олигополиста - обязательно ли это олигополист? - мне кажется однозначный ответ дать нельзя.

И, как я обещал - гладкий спрос удовлетворяющий пункту в),надеюсь с ним таких жарких дискуссий не произойдет :)

demand22.jpeg

Да, это красиво.
Только возможна ли такая форма MR при таком Qd?
А в какой программе рисуешь? :)
Я думаю Тимур пользовался необходимой для построения "замудрённых" графиков программой,а производную правильно взял)
С этим я бесспорно согласен)).Тимур выручку ты предельную выручку ты нарисовал правильно,просто,предльная выручка в "олигополистическом виде" имеет разрыв,а разрыв это пустота,так как там может быть оптимум?))
Сурен,почитай задачу Данила Фёдоровых про зайцев, там как рас важен тот момент что производитель выбирает точку на вертикальном участке предельной выручки(не на разрыве) , просто при таком объеме предельная вырука принимает значения из заданного промежутка.
Offtop,Насчет правильности последней $MR$ - там все наверняка, такие вещи я строю на компе с помощью FlatGraph, потом кидаю в фотошоп, если интересно)
Новый факт в обсужении в защиту моей выпуклой кривой спроса :
"Действительно, кривая рыночного спроса окажется выпуклой в том случае, когда спрос предъявляется людьми с разным уровнем дохода, ≈ ведь снижение цены не только увеличивает спрос тех, кто приобретал товар и до снижения, но и позволяет выйти на рынок новым покупателям, с меньшим уровнем дохода." Робинсон Дж. Экономическая теория несовершенной конкуренции. М., 1986. С.62
Это о том что совершенно разные факторы могут dлиять на форму кривой спроса
Ну я не буду вмешиваться в ваши жарке дискуссии, только хочу заметить Сурену: Да, на разрыве нету ничего, там MR не пересекает МС, ну и что? Ведь до разрыва предельная выручка больше предельных издержек, значит мы получаем прибыль. А как только ты шагнешь за разрыв, ты что-то потеряешь. Вот тебе и оптимум.
Когда спрос ломаный, то в точке его излома MR имеет разрыв, и там на самом деле нет никакого вертикального участка (ну сами подумайте, как при вполне конкретной функции спроса может получаться, что предельная выручка может принимать любое значение из целого отрезка?). В этой точке MR просто не определен, так как функция спроса (а с ней и функция выручки) недифференцируема. Чисто экономически это выражается в том, что при малом увеличении выпуска прирост выручки один, а при таком же малом уменьшении выпуска - "отрост" уже другой. Я в крайнем случае готов считать, MR в этой точке может принимать любое из этих двух значений, но уж точно неправда, что он может принимать бесконечное множество значений из целого отрезка. А у Данила так нарисовано просто для того, чтобы на графике получилась красивая точка пересечения MR и MC; по смыслу же никакого вертикального участка нет.

При этом разрыв, как сказал Дима, совсем не мешает этой точке быть для фирмы оптимальной (см. его комментарий выше).

Дождись зимы. Тебе расскажут про суб- и суперградиенты (обобщение производных для выпуклых функций), и ты поймешь, почему MR удобно задать именно вертикальным отрезком. (если задавать так, то по-прежнему необходимое условие можно записывать в виде равенства).
Это, конечно, интересно, но не будем грузить школьников, ок? В точке излома графика производной не существует, так не будем ее в этой точке и рисовать.
Ну, для тебя (пока) MR - это производная, для меня - суперградиент (субградиент). Ничего не вижу плохого в том, чтобы соединять эти две точки вертикальным отрезком. Так значительно легче идентифицировать критические точки.
Попробую прояснить свою позицию на аналогии.

Представь себе, что в первом классе прошла контрольная по математике. Среди примеров был такой: "8:3". Большая часть класса при ответе на этот вопрос написала: "не делится". Были те, кто написали: "2 и 2 в остатке". Один ученик написал: "2 и 2/3".

Твоя фраза о том, что "В этой точке MR просто не определен, так как функция спроса (а с ней и функция выручки) недифференцируема... Я в крайнем случае готов считать, MR в этой точке может принимать любое из этих двух значений, но уж точно неправда, что он может принимать бесконечное множество значений из целого отрезка" для меня равносильна следующему утверждению: "Ответ 2 и 2 в остатке я готов еще принять, но 2 и 2/3 я точно не правда, потому что все знают, что 8 на 3 не делится". Мне кажется, что подход "давайте не будем грузить первоклассников, 8 на 3 не делится и точка" является неправильным.

На мой взгляд, восприятие MR как производной равносильно пониманию знака ":" делению нацело (как это и принято в первом классе). Другими словами, мне кажется, что акцентировать на этом не нужно. Кто хочет, пусть проводит отрезок; кто не хочет, может проводить пунктирную линию.

Просто я хочу, чтобы у детей возникло понимание хотя бы производной, того, что она не существует там, где есть излом.

Пока дети не научились (а они не научились) хорошо делить то, что делится нацело, и тем самым чувствовать хорошо суть деления, не стоит грузить их дробями (тем более что в нашем случае эти "дроби", видимо, мало кому пригодятся).

Ты сможешь здесь на пальцах объяснить свои субдифференциалы, так, чтобы все поняли смысл и всем это было полезно?
Если нет, то проведение вертикальной прямой не будет иметь в глазах школьников обоснования. А то, что MR как производная там не определен, обоснование имеет. Более того, знание этого обоснования всем полезно, так как с производными работать надо уметь, от этого никуда не деться. А до суб- и супер- обобщений производной (которые в российских эк. вузах, кроме РЭШ, видимо, нигде не проходятся), доживут явно не все.

Мне кажется, что существование производной в изломе не является ключевой проблемой для экономики. Именно поэтому я против выяснения того, "как правильно". Потому что правильно может быть и так, и так. Не надо акцентировать на том, что правильно писать "8 на 3 не делится".

На мой взгляд, проводить это вертикальный отрезок полезно. Представь себе спрос с изломом (MR скачком идет вниз) и линейную MC. Если на месте скачка проводить вертикальный участок, то тогда максимум прибыли будет достигаться в точке MR = MC. При каких значениях MC в этой точке будет достигаться оптимум в этой точке? При всех, принадлежащих отрезку [MR после разрыва, MR до разрыва]. Если же MR там неопределен, то тогда мы ничего сказать не можем.

Не знаю, как в Вышке, но на ЭФ МГУ мне рассказывали про суб- и суперградиенты в разделе выпуклого анализа исслопа на 2 курсе.

Что касается целевой аудитории, то да, видимо, здесь у нас есть различия. Я верю, что среди школьников, посещающих этот сайт, вполне могут быть будущие Нобелевские лауреаты. Я не хочу, чтобы ты их вводил в заблуждение утверждениями о том, что 8 на 3 никогда не делится :-)

http://en.wikipedia.org/wiki/Subderivative - весело, и с картинками. Ок, "вертикальный участок MR" при кусочно-линейном вогнутом спросе - супердифференциал выручки. Но я пока не понял: есть ли от осознания этого какая-то польза, кроме того что его можно выделить сплошной линией и гордо назвать "MR"? Скажем, при кусочно-линейном выпуклом спросе никаких суб/супердифференциалов уже не будет существовать. А где прибыль максимальна - всегда можно понять, сравнив площади между MR и MC на дифференцируемых участках. Тогда зачем нужны эти "обобщения производной"?
Вопрос был не о пользе обобщений (это долгая дискуссия). Я просто считаю вредными постулаты типа "8 на 3 не делится" или "из отрицательных чисел корни не извлекаются". Возможно, я не прав, но мне кажется это слишком антиакадемическим. Что касается сравнения площадей, то это неверно в случаях, когда, например, функция издержек имеет разрыв.
Начет разрыва я понял, в этой точке функция спроса получается не дифференцируема, так ведь? И поэтому нельзя говорить о предельных величинах
Дополнительный вопрос - пункт г).
Если при росте спроса цены падают, то для аналогичной картинки при падении спроса цены растут.

P.S. И ещё, кстати, возможен вариант, когда равновесие не изменится :)

Ну так значит какая экономика у нас сейчас - скорее конкурентная или скорее нет?
Скорее монополизированная =)
Кстати, а как вам такая задача?
Олигополия
$ Q_d^{1} = 40 - 0,5P $
$ Q_d^{2} = 70 - P $
$ TC = 120 + 35Q + 0,5Q^{2} $
Оптимум = ?
А что это суммарные издержки что-ли? Две фирмы а издержки одни?
Рынок олигополии, рассматриваем одну из фирм. Найти оптимум для этой фирмы.
Дан напиши пожалуйста условие, а то ничего не ясно, и масса вопросов по твоим трём строчкам)))
Так это всё условие...
Две группы покупателей, предъявлюящих спрос на один и тот же товар, если вы этого пытаетесь добиться. Но, если бы было 2 товара, то $ TC $ зависело бы и от $ Q_1 $, и от $ Q_2 $...
Неплохо было бы, наверное, количество фирм в отрасли указать. =)

И вообще, создай новую тему для этого, зачем тут флудить.

Да блин, это всё не нужно! =)
Просто это задачка в тему об оптимуме в точке разрыва MR...
На неё не нужно смотреть с точки зрения великого знатока экономической теории, её надо решить как подобное делают в экономиксе.
Дан, вроде стандартная модель, в том числе и в экономиксе, описывается выпуклой вверх(экономисты говорят вогнутой) ломаной функцией спроса.
Ну а в целом, тороплюсь, считать не буду, попробую описать логику :
cтроим рыночный спрос, строим MC и MR. Точки разрыва на MR соединяем вертикальной линией, произносим магическое слово субградиент, и выбираем объем, соответствующий равенству предельных издержек и предельного дохода ( в том числе и на вертикальном участке), ну и рас кривая будет выпукла вниз, то еще вероятно нужно будет выбрать из точек ту, в которой прибыль больше.
Ну да. А тут такая штука, чтобы не было побочных решений нет пересечения MC с реальными MR, только с их мнимыми продолжениями, зато есть пересечение с разрывом =)
Дан, странно , а у меня получается, что MC пересекает реальное MR, если я не обсчитался)
Такую ситуацию с разрывом хорошо описывает задача про зайцев
...Все-таки немного странный спрос)
Тимур, а что за задача про зайцев , это которые с Дедом Мазаем?=)
Да, именно она)
А где там разрыв?=)
Ну все вертикальные участки на MR - это,так сказать, результат разрыва