Задача
В подборках
Поведение фирмы
Темы
Сложность
(1 оценка)
Автор
08.10.2009, 00:02 (Алексей Суздальцев)
12.06.2010, 20:05
12.06.2010, 20:05
Спрос на продукцию монополиста задаётся невозрастающей функцией. Может ли рост спроса привести:
а) к увеличению и выпуска, и цены;
б) к уменьшению и выпуска, и цены;
в) к уменьшению выпуска и увеличению цены;
г) к увеличению выпуска и уменьшению цены?
а) к увеличению и выпуска, и цены;
б) к уменьшению и выпуска, и цены;
в) к уменьшению выпуска и увеличению цены;
г) к увеличению выпуска и уменьшению цены?
Для каждого из пунктов приведите пример, если считаете, что соответствующее поведение монополиста возможно; в противном случае докажите, что такое поведение невозможно.
Под ростом спроса здесь понимается ситуация, когда значение новой функции спроса не меньше значения старой при любой цене и строго больше значения старой хотя бы при какой-то цене.
Комментарии
Посмотрим на Вашу цепочку рассуждений. Поясните следующие два перехода:
1) "функция спроса сдвинулась вправо-вверх ,тоже самое произошло и с MR"
2) "Следовательно,цена увеличится и объём выпуска также"
Какие предположения здесь были сделаны?
2)Значит MR=a/b - 2Q/b
3)спрос вырос при каждой цене Q=a-bP+z (сдвинется параллельно вверх)
4)MR примет вид MR=a/b+z/b-2Q/b ( сдвинется параллельно вверх)
5)Так как оптимум в точке MC=MR а увеличение спроса не сказывается на MC => она останется прежней значит точка оптимума в новом положении MR будет находится выше,чем в старой(Q2>Q1)=> цена также вырастит.
На рисунке это более наглядно,но я его никак не могу выложить)
Например, если не ходить далеко:
Было Pd=2+1/Q2 MC=1.
При этих данных MR=2-1/Q2=1, Q=1; P=3
Стало Pd=5+1/Q2 MC=1
MR=5-1/Q2=1, Q=1/2; P=9
Это ответ на пункт в)
Но что же тогда такое "стандартная модель"? :)
И тогда не подойдёт ли этот пример для того, когда мы увеличиваем Р и уменьшаем Q? Ведь мы же не знаем как сравнить бесконечность и бесконечность :)
Бесконечности не сравнимы, поэтому пример с бесконечностью не подойдёт.
А вот если MR и MC возрастают вместе...
1)подходит пункт а)
2)подходит так же а)
3)ничего не подходит,так как точка минимума (MR=MC)
4)подходит так же пункт а)
По поводу б):
Первоначально мы имеем некоторую точку А лежащую на кривой спроса отражающую монопольную цену и оптимальный обьем монополиста.
Далее мы должны перейти в некоторую точку В, которая лежит ниже и левее точки А, при условии что спрос как минимум невозрастает, точка В лежит под изначальной кривой спроса, но во втором случае кривая спроса должна проходить через точку В но тогда не выполняется условие Алексея "значение новой функции спроса не меньше значения старой при любой цене и строго больше значения старой хотя бы при какой-то цене".
По поводу в) сейчас пример постораюсь нарисовать и выложу
В принципе такой спрос типичен для олигополии, однако, условиям этой задачи напрямую вроде не противоречит так как спрос "не возрастает", может только противоречит слову "стандартный" , нужно дождаться решения автора.
После этого я решил просто рассмотреть переход от выпуклого вверх ( $\sqrt{9-x}$ )спроса к линейному( $10-x$ ), ситуация в) в таком случае снова подтвердилась.
Осмелюсь предположить что в) возможно при росте от выпуклого вверх спроса до линейного(если хотите могу привести рисунок)
Обратное предположу насчет г) - возможно при росте от "вогнутого внутрь" спроса до линейного.
Конечно переход в линейный спрос я привожу для удобства, думаю на его месте может быть что-нибудь иное.
Сразу извиняюсь за качество рисунка. Из фотающих только телефон под рукой, а камера не весьма.
В общем, теперь чуть - чуть математики. Скажем, товар покупают 2 группы потребителей.
БЫЛО:
Q1=9-P
Q2=3-0,5*P
MC=3+Q/9
QDобщее=12-1,5*P; => Pd=8-2*Q/3
MR=8-4*Q/3=MC=3+Q/9
13Q/9=5
Q=45/13
P=74/13
СТАЛО:
Q1=9-P
Q2=6-P
PDобщее=7,5-0,5*Q
MR=7,5-Q=MC=3+Q/9
Q=81/20
P=219/40
Q2>Q1
P1>P2
Q1=6-0,5*P при Q2=6-P, то оптимум перенесётся в точку пересечения МС с первой MR и Q уменьшится, а Р увеличится.
В числах:
MR=12-4*Q=MC=3+Q/9
37*Q/9=9
Q=81/37
81/37=6-0,5*P
P=282/37
Q уменьшится, Р увеличится, пункт б)
Но тут получается такая вещь, что суммарный рыночный спрос увеличится, т.е. не уменьшится ни при каком из значений Р, но спрос первой группы будет измёнен - произойдёт и угловой сдвиг, и вертикальный, т.к. первоначально Q=9-P, а потом - Q=6-0,5*P
апдейт:
Выделенное жирным шрифтом можно просто посчитать и проверить. Т.к. МС=3+Q/9, то ТС=3*Q+Q2/18+TFC. Далее TFC можно откинуть т.к. при сравнении прибылей в точках пересечения МС с первой и вторыми кривыми MR TFC уйдёт. Далее подставляем все показатели равновесия и находим, что П1-П2 >0 (где П1 при пересечении с первой MR), а это то, что нам и нужно.
Ситуацию г) можно получить с помощью того же ломанного спроса, только теперь не выпуклого , а вогнутого вниз,правда там чуть по-сложнее.
- то что у тебя на рисунке выше )
Tолько можно получить чуть проще, первый спрос ломаный "внутрь" а второй просто линейный - результат будет тот же
И ещё точка оптимума не может находиться на разрыве MR. :)
В ситуации г) - первый спрос у нас одинакового вида, т.е. вогнутый вниз . ( то что ты собственно нарисовал)
Второй уже собственно неважно какой можно и линию можно и вогнутый, как говорится хрен редьки не слаще.Тут никаких олигополий нет.
В ситуации в) - у меня в примере олигополистичный спрос, однако могу привести рисунок с гладким спросом, где выполняется условие в)
Вобщем главный вывод пока такой, все ситуации кроме б) - возможны, верно?
Насчет оптимума на разрыве, может ты помнишь задачу про "задачу про зайцев", так вот там оптимум как рас оказывался на разрыве.
тут про зайцев
Если посмотреть на твой рисунок, то у тебя оптимум в точке разрыва MR, т.е. находится на смом начале кривой спроса второй группы, т.е. потребители второй группы не покупают товар, а покупают только люд из 1 группы спроса.
Тогда у тебя точка перегиба должна "переламывать график". Т.к. суммарный спрос больше чем спрос только 1 группы, то дальше наклон будет меньший к оси Q, тогда и общий MR у тебя будет буквой Z и пересечений MR с MC будет три. И не факт, что оптимум попадёт на первое пересечение MR и МС...
Может, я чего - то не вкурил.
Вот по сути то,что я писал немного выше.
Если честно я не понимаю от чего спрос на продукцию может выглядеть вогнутным, но не может быть выпуклым? Мне кажется спрос всегда формируется под влиянием совершенно разных факторов, поэтому чисто математически в этой задаче одно условие к спросу - он не возрастает, и имея модель однозначно определить условия необходимые для ее существования нельзя.То есть если спрос как у олигополиста - обязательно ли это олигополист? - мне кажется однозначный ответ дать нельзя.
И, как я обещал - гладкий спрос удовлетворяющий пункту в),надеюсь с ним таких жарких дискуссий не произойдет :)
Только возможна ли такая форма MR при таком Qd?
А в какой программе рисуешь? :)
Offtop,Насчет правильности последней $MR$ - там все наверняка, такие вещи я строю на компе с помощью FlatGraph, потом кидаю в фотошоп, если интересно)
"Действительно, кривая рыночного спроса окажется выпуклой в том случае, когда спрос предъявляется людьми с разным уровнем дохода, ≈ ведь снижение цены не только увеличивает спрос тех, кто приобретал товар и до снижения, но и позволяет выйти на рынок новым покупателям, с меньшим уровнем дохода." Робинсон Дж. Экономическая теория несовершенной конкуренции. М., 1986. С.62
Это о том что совершенно разные факторы могут dлиять на форму кривой спроса
При этом разрыв, как сказал Дима, совсем не мешает этой точке быть для фирмы оптимальной (см. его комментарий выше).
Представь себе, что в первом классе прошла контрольная по математике. Среди примеров был такой: "8:3". Большая часть класса при ответе на этот вопрос написала: "не делится". Были те, кто написали: "2 и 2 в остатке". Один ученик написал: "2 и 2/3".
Твоя фраза о том, что "В этой точке MR просто не определен, так как функция спроса (а с ней и функция выручки) недифференцируема... Я в крайнем случае готов считать, MR в этой точке может принимать любое из этих двух значений, но уж точно неправда, что он может принимать бесконечное множество значений из целого отрезка" для меня равносильна следующему утверждению: "Ответ 2 и 2 в остатке я готов еще принять, но 2 и 2/3 я точно не правда, потому что все знают, что 8 на 3 не делится". Мне кажется, что подход "давайте не будем грузить первоклассников, 8 на 3 не делится и точка" является неправильным.
На мой взгляд, восприятие MR как производной равносильно пониманию знака ":" делению нацело (как это и принято в первом классе). Другими словами, мне кажется, что акцентировать на этом не нужно. Кто хочет, пусть проводит отрезок; кто не хочет, может проводить пунктирную линию.
Пока дети не научились (а они не научились) хорошо делить то, что делится нацело, и тем самым чувствовать хорошо суть деления, не стоит грузить их дробями (тем более что в нашем случае эти "дроби", видимо, мало кому пригодятся).
Ты сможешь здесь на пальцах объяснить свои субдифференциалы, так, чтобы все поняли смысл и всем это было полезно?
Если нет, то проведение вертикальной прямой не будет иметь в глазах школьников обоснования. А то, что MR как производная там не определен, обоснование имеет. Более того, знание этого обоснования всем полезно, так как с производными работать надо уметь, от этого никуда не деться. А до суб- и супер- обобщений производной (которые в российских эк. вузах, кроме РЭШ, видимо, нигде не проходятся), доживут явно не все.
На мой взгляд, проводить это вертикальный отрезок полезно. Представь себе спрос с изломом (MR скачком идет вниз) и линейную MC. Если на месте скачка проводить вертикальный участок, то тогда максимум прибыли будет достигаться в точке MR = MC. При каких значениях MC в этой точке будет достигаться оптимум в этой точке? При всех, принадлежащих отрезку [MR после разрыва, MR до разрыва]. Если же MR там неопределен, то тогда мы ничего сказать не можем.
Не знаю, как в Вышке, но на ЭФ МГУ мне рассказывали про суб- и суперградиенты в разделе выпуклого анализа исслопа на 2 курсе.
Что касается целевой аудитории, то да, видимо, здесь у нас есть различия. Я верю, что среди школьников, посещающих этот сайт, вполне могут быть будущие Нобелевские лауреаты. Я не хочу, чтобы ты их вводил в заблуждение утверждениями о том, что 8 на 3 никогда не делится :-)
Если при росте спроса цены падают, то для аналогичной картинки при падении спроса цены растут.
P.S. И ещё, кстати, возможен вариант, когда равновесие не изменится :)
Олигополия
$ Q_d^{1} = 40 - 0,5P $
$ Q_d^{2} = 70 - P $
$ TC = 120 + 35Q + 0,5Q^{2} $
Оптимум = ?
Две группы покупателей, предъявлюящих спрос на один и тот же товар, если вы этого пытаетесь добиться. Но, если бы было 2 товара, то $ TC $ зависело бы и от $ Q_1 $, и от $ Q_2 $...
И вообще, создай новую тему для этого, зачем тут флудить.
Просто это задачка в тему об оптимуме в точке разрыва MR...
На неё не нужно смотреть с точки зрения великого знатока экономической теории, её надо решить как подобное делают в экономиксе.
Ну а в целом, тороплюсь, считать не буду, попробую описать логику :
cтроим рыночный спрос, строим MC и MR. Точки разрыва на MR соединяем вертикальной линией, произносим магическое слово субградиент, и выбираем объем, соответствующий равенству предельных издержек и предельного дохода ( в том числе и на вертикальном участке), ну и рас кривая будет выпукла вниз, то еще вероятно нужно будет выбрать из точек ту, в которой прибыль больше.
...Все-таки немного странный спрос)