Задача про зайцев

В темно-синем лесу, где трепещут осины, компания «Зайцы Ltd.» является монополистом на рынке трын-травы и имеет функцию издержек $\TC(Q)=Q^3-10Q^2+50Q$ . Ежемесячно проводятся торги, каждый месяц функция спроса на трын-траву одинакова и задается уравнением ${P=98-10Q^d}$ . Дед Мазай, представляющий в лесу государство, собирается вмешаться в ценообразование. Он хочет добиться снижения цены до определенного уровня ${P_0}$ , но, чтобы вмешательство не казалось резким, Мазай будет проводить свою политику в три этапа:

Установит потолок цены на уровне ${P_1}$ , который выше ${P_0}$ , но при котором «Зайцы Ltd.» будут производить столько же, сколько производили бы при ${P_0}$ .
Снизит потолок до такого уровня ${P_2}$ , при котором оптимальный выпуск «Зайцев Ltd.» максимален.
Наконец, снизит потолок до уровня ${P_0}$ .

Когда Дед Мазай спросил «Зайцев Ltd.», выгодно ли им косить трын-траву при цене ${P_0}$ или лучше уйти с рынка, они ответили своей знаменитой фразой: «А нам всё равно!».

Какую прибыль получили бы «Зайцы Ltd.», если бы не было Деда Мазая?
Найдите цены, которые установятся на рынке после каждого этапа вмешательства. Какую прибыль будут получать «Зайцы Ltd.» при каждой из этих цен?
Прокомментируйте действия Деда Мазая с точки зрения общественного благосостояния.

Решение и ответ

Найдем прибыль «Зайцев Ltd.» до государственного вмешательства:

$\begin{align*} \TR(Q) = 98Q - 10Q^2 \\ MR(Q) = \TR'(Q) = 98 - 20Q \\ \MC(Q) = \TC'(Q) = 3Q^2 - 20Q + 50 \\ \MR(Q) = \MC(Q) \\ 98 - 20Q = 3Q^2 - 20Q + 50 \\ Q^2=16 \\ Q^*= 4 \\ P^*=98-40 \times 10 = 58 \\ \pi=TR(4) - \TC(4) = 232 - 104 = 128 \end{align*}$

Рассмотрим механизм выбора монополистом объема производства при установке потолка цены $P_{\max}$ . Новая кривая спроса будет иметь два участка: ниже уровня $P_{\max}$ она останется прежней, а на уровне $P_{\max}$ станет совершенно неэластичной. Исходя из этого, $\operatorname{MR} (Q)$ левее $Q^d(P_{\max })$ будет горизонтальной на уровне $P_{\max}$ , а правее останется прежней (жирная линия на рисунке 1).

При каждом значении $P_{\max}$ «Зайцы Ltd.» определяют уровень выпуска, при котором $\MC(Q)$ пересекает новую $\MR(Q)$ .

$\TC(0)=0$ , значит, речь идет о долгосрочном периоде. Поскольку при цене $P_0$ фирме безразлично, уйти из отрасли или остаться, эта цена равна минимуму средних издержек (она получает нулевую экономическую прибыль при оптимальном выпуске). Очевидно, что оптимальный объем выпуска в этом случае лежит на горизонтальном участке кривой $\operatorname{MR}(Q)$ .

$\begin{align*} \AC(Q)=\frac{{\TC(Q)}}{Q}=Q^2-10Q+50 \\ P_0=\AC_{min} \\ \AC(Q) = \AC(5) = 25 \\ Q_0=5 \\ \pi _0=0 \end{align*}$

Какую цену $P_1$ может установить Дед Мазай, чтобы объем производства тоже был равен 5? Такую, чтобы величина спроса при этой цене была равна 5.
$\fbox{P_1=P(5)=98-10 \times 5 = 48}\cr \fbox{\pi _1=48 \times 5 - \TC(5)=240-125=115}$

Осталось найти $P_2$ . Максимальный из оптимальных объемов производства достигается при установке потолка на уровне пересечения $\operatorname{MC}(Q)$ и кривой спроса. (Кстати, именно такая цена и такой объем производства сложились бы на рынке, если бы он был совершенно конкурентен.) Если потолок будет выше или ниже этого уровня, «Зайцам Ltd.» будет выгодно снизить выпуск.

$\begin{align*} P(Q)=\MC(Q) \\ 98-10Q=3Q^2-20Q+50 \\ Q_2=6 \\ P_2=P(6) = 98 - 10 \times 6 = 38 \\ \pi _2 = 38 \times 6 - \TC(6) = 228 - 156 = 72 \end{align*}$

Говоря о последствиях действий Деда Мазая для общества, можно заметить, что установка цен $P_1$ и $P_2$ целесообразна, так как снижает уровень цены и увеличивает объем продаж (при $P_2$ ситуация сходна с совершенной конкуренцией), а снижение цены до $P_0$ вызывает появление потерь общества от ценового регулирования и появления дефицита трын-травы на рынке.

Примечание:

Подробно и с картинками поведение монополиста в условиях ценового регулирования описано в известном учебнике Роберта Пиндайка и Даниэля Рубинфельда в главе «Рыночная власть: монополия и монопсония».

я бы дала за это максимум, если бы была проверяльщиком))
это же так не круто, наверное, - проверять задачи олимпиадные школьников, а тут хоп - такое,
хоть какое-то веселье

↑

Евгений Дрынкин, 16.1.2012 в 00:19. (ссылка)

чувство юмора проверяют в других местах. в квн, например.

Никита Гомаюн, 28.2.2009 в 11:00. (ссылка)

супер задача :) не мог никак найти P1, не знал что MR имеет вертикальный участок, думал там разрыв

Яцюк Дмитрий, 11.2.2010 в 18:56. (ссылка)

У меня такой вопрос : почему при установлении потолка цен P1 зайцы будут производить объем , соответствующий именно минимуму AC ?
Раз уж это умные зайцы , то они к примеру могли оставить такой же объем травы (т.е. на пересечении МR и MC ) при снижении цены до уровня P1 . Так их прибыль составляла бы Q*P-TC=4(98-10*5)-4^3+4*10-50=4*48-64-10=192-74=118.

Вместо этого они выбирают объем точно под кривой спроса с соответствующей ценой P1=48 :
прибыль равна Q*p-TC= 5*48-5*3+50-50=240-125=115
Обращаю внимание на то , что прибыль меньше.
....
...
....
....
нет все в порядке , не обращайте внимания, я ТС с АС как обычно перепутал

Темы

производитель и рынки, микроэкономика, вмешательство государства, монополия, ограничения цены

Автор задачи

Данил Фёдоровых

Добавлено

28.01.2008 02:37
(Данил Фёдоровых)

Обновлено: 5.10.2009 00:21

Сложность (оценка эксперта):

8 из 10

Версия для печати

8 комментариев

Задача про зайцев