Задача

В подборках

Поведение фирмы

Темы

Сложность

8
Средняя: 8 (2 оценок)

Автор

31.01.2012, 13:19 (Григорий Хацевич)
29.07.2020, 14:13
Фирма производит товар, используя два фактора, которые условно назовём «труд» (L) и «капитал» (K). Единица труда стоит $P_{L} =10$, единица капитала стоит $P_{K} =1$. Найдите функцию издержек $TC(Q)$ и постройте её график, если производственная функция имеет вид:

a) $f(L,K)=\sqrt{L+K}$

b) $f(L,K)=(LK)^{1/4} $

c) $f(L,K)=L+K+LK$

Комментарии

Андрей, у нас $TC=P_{L}L+P_{K}K=10L+K=\sqrt{10}Q^2+\sqrt{10}Q^2=2\sqrt{10}Q^2$

P.s. а откуда К=10L+9 ??

Не знаю, насколько я правильно рассуждаю...
MP(L)=1+k
MP(k)=1+l

$\frac{MP(L)}{Pl}$ = $\frac{MP(K)}{Pk}$
$\frac{1+k}{10} $= $\frac{1+l}{1}$

С этим понятно все. Спасибо. Я о последнем пункте говорю.
Я опять же через целевую функцию делал, сейчас перерешаю, мне намного интереснее, что у Вас в a. получилось:)

UPDATE до меня доперло, Вы здесь имели в виду пункт c. :)

Именно)) В а. у меня функцию вывести не получается. Но мне кажется, что $\TC=Q^2$, т.е. мы труд не используем, только капитал.
Андрей, ок, я пересчитал с., получил: $TC(Q)=2\sqrt{10Q+10}-11$, если упростить то, что я написал в начале, получим тоже самое.

Кстати, по пункту а. вольфрам тоже говорит, что $L=0$, а $K \longrightarrow +\infty$ (ограничений-то нет), так что будем ждать автора и дальше думать:)

Я опирался на то, что если $Q=0$, то $L=K=0$, ну а $TC=0\cdot 10+0=0$, но если $Q=1$ (например), то $\begin{bmatrix}K>0\\ L>0\end{bmatrix}$ (не знаю, как совокупность задать), тогда $TC(1)<0$, причем $TC\leq 0$ при $0\leq Q\leq \frac{81}{40}$.
Боюсь, что функция будет кусочно-заданной!!
Я думаю, что так как $\TC$ не могут быть отрицательными (опираюсь только на здравый смысл), то
$$TC(Q)=\begin{cases}0,\text{ если }0\leq Q\leq \frac{81}{40} \\2\sqrt{10Q+10}-11, \text{ если }Q> \frac{81}{40}\end{cases}$$

Хотя было бы не плохо, если бы мы продавали, а нам ещё деньги платили за это:)

Появилась идейка: можем найти, при каком $Q$ фирма начнёт приобретать кроме капитала труд:
$\sqrt{(Q+1)/10}-1=L\geqslant0 \Rightarrow \sqrt{(Q+1)/10}\geqslant1 \Rightarrow Q\geqslant9$. А это значит, что производя какой-то объём $Q<9$, фирма будет использовать только капитал, т.е. $TC(Q)=Q$ (т.к. цена капитала $P$$k$$=1$, а $L=0$).
Итак:
$$TC(Q)=\left\{ \begin{gathered} Q, Q<9 \hfill \\ 2\sqrt{10Q+10}-11, Q\geqslant9 \hfill \\ \end{gathered} \right$$
Владислав, $Q$ не может быть меньше $K$, т.к. $K\geqslant0$ и $L\geqslant0$. Поэтому выражение $L=\frac{Q-K}{K+1}$ даёт нам следующие ограничения на $Q$:
$$ \left[ \begin{aligned} Q=K \Rightarrow L=0\\ Q>K \Rightarrow L>0 \end{aligned}\right. $$
Что, кстати, не противоречит полученной мною выше функции $TC(Q)$.
Павел, заметьте, я написал не строго меньше, а меньше либо равно; ну а вообще, я и имел в виду те ограничения на $Q$, что Вы написали, просто коряво выразился.

P.s. Было бы не плохо, добавить в совокупность случай, когда $Q

Разве это правильные MPL?
Правильные.
Но смотрите: $TPL$ = $\sqrt{L + K}$
$MPL$ = $TPL_L^'$
Значит, $MPL$ = $TPL_L^'$ = $\frac{1}{2\sqrt{L + K}}$
Они там пункт с) вообще-то обсуждали.
Пункт с.
Как уже писал Андрей, $K=9+10L$. Тогда:
$Q=10L$$2$$+20L+9$
$Q=(\sqrt{10}L+\sqrt{10})$$2$$-1$
$\sqrt{Q+1}=\sqrt{10}L+\sqrt{10}$
$\sqrt{(Q+1)/10}-1=L$
$TC(Q)=10L+K=20L+9=2\sqrt{10Q+10}-11$
В пункте a $$TC (Q)=Q^2$$ правильно?
думаю да, ты как рассуждал?
Так как предельная выгода одна и та же, а предельные затраты различаются, то не имеет смысла вообще использовать труд. Поэтому используем только капитал. С другой стороны если бы было что-то вроде $$L*K$$, то тут уже начиная с какого-то $$K>a,a=const$$ надо было бы использовать L.
Ок. Ну твой случай аналогичен пункту б).
.