Фирма производит товар, используя два фактора, которые условно назовём «труд» (L) и «капитал» (K). Единица труда стоит $P_{L} =10$, единица капитала стоит $P_{K} =1$. Найдите функцию издержек $TC(Q)$ и постройте её график, если производственная функция имеет вид:
a) $f(L,K)=\sqrt{L+K}$
b) $f(L,K)=(LK)^{1/4} $
c) $f(L,K)=L+K+LK$
Комментарии
P.s. а откуда К=10L+9 ??
MP(L)=1+k
MP(k)=1+l
$\frac{MP(L)}{Pl}$ = $\frac{MP(K)}{Pk}$
$\frac{1+k}{10} $= $\frac{1+l}{1}$
UPDATE до меня доперло, Вы здесь имели в виду пункт c. :)
Кстати, по пункту а. вольфрам тоже говорит, что $L=0$, а $K \longrightarrow +\infty$ (ограничений-то нет), так что будем ждать автора и дальше думать:)
Боюсь, что функция будет кусочно-заданной!!
$$TC(Q)=\begin{cases}0,\text{ если }0\leq Q\leq \frac{81}{40} \\2\sqrt{10Q+10}-11, \text{ если }Q> \frac{81}{40}\end{cases}$$
Хотя было бы не плохо, если бы мы продавали, а нам ещё деньги платили за это:)
$\sqrt{(Q+1)/10}-1=L\geqslant0 \Rightarrow \sqrt{(Q+1)/10}\geqslant1 \Rightarrow Q\geqslant9$. А это значит, что производя какой-то объём $Q<9$, фирма будет использовать только капитал, т.е. $TC(Q)=Q$ (т.к. цена капитала $P$$k$$=1$, а $L=0$).
Итак:
$$TC(Q)=\left\{ \begin{gathered} Q, Q<9 \hfill \\ 2\sqrt{10Q+10}-11, Q\geqslant9 \hfill \\ \end{gathered} \right$$
$$ \left[ \begin{aligned} Q=K \Rightarrow L=0\\ Q>K \Rightarrow L>0 \end{aligned}\right. $$
Что, кстати, не противоречит полученной мною выше функции $TC(Q)$.
P.s. Было бы не плохо, добавить в совокупность случай, когда $Q
$MPL$ = $TPL_L^'$
Значит, $MPL$ = $TPL_L^'$ = $\frac{1}{2\sqrt{L + K}}$
Как уже писал Андрей, $K=9+10L$. Тогда:
$Q=10L$$2$$+20L+9$
$Q=(\sqrt{10}L+\sqrt{10})$$2$$-1$
$\sqrt{Q+1}=\sqrt{10}L+\sqrt{10}$
$\sqrt{(Q+1)/10}-1=L$
$TC(Q)=10L+K=20L+9=2\sqrt{10Q+10}-11$