Задача
В олимпиадах
Сибириада. Шаг в мечту — 2011
Раздел
Баллы
12
Темы
Сложность
(6 оценок)
Автор
08.03.2011, 11:50 (Данил Фёдоровых)
07.01.2016, 19:31
07.01.2016, 19:31
В племени Мумба-Юмба $N$ человек ($N\geqslant1$), каждый из которых ходит на охоту в лес. $i$-й соплеменник каждый день тратит на охоту долю $c_{i}$ своего времени ($0\leqslant c_{i}\leqslant 1$) и приносит $y_{i}$ условных единиц добычи, при этом его производственная функция задается формулой $y_{i}=\sqrt{c_{i}}$. Каждый вечер, после возвращения охотников из леса, все соплеменники собираются вокруг костра и съедают всю принесенную за день добычу (каждый — свою), танцуя ритуальные танцы. Исследование, проведенное антропологами, показало, что $i$-й член племени оценивает свое удовольствие от прожитого дня в $u_{i}$ единиц удовольствия, причем $u_{i}=x_{i}-c_{i}+R$, где $x_{i}$ — количество съеденной добычи, а $R$ — удовольствие от ритуальных танцев, которое всегда одинаковое и ни от чего не зависит. Каждый член племени стремится получить как можно больше удовольствия.
а) Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б) Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
Все задачи этой олимпиады
11-й класс
Задача | Баллы |
---|---|
Зарплата и ВВП в Звондурасе | 12 |
Линейные функции и эластичность | 13 |
Мумба-Юмба | 12 |
Творог и сыворотка | 13 |
Фирма и изменение цен | 10 |
9-й класс
Задача | Баллы |
---|---|
Линейные функции и эластичность | 13 |
Мумба-Юмба | 12 |
Творог и сыворотка | 13 |
Фирма и изменение цен | 10 |
Комментарии
верно?
я думаю, Яна, написала впечатления в общем от задачи)
В том-то и дело, что вести себя так, чтобы получать $U=1/4 + R$, выгодно всем, но невыгодно каждому: как бы все остальные соплеменники себя ни вели, каждому отдельному соплеменнику выгодно «халявить». Представим, что все собрались утром и договорились работать по $c=0{,}25$ и получать $U=1/4+R$. Но если я — i-й соплеменник, то мне выгодно работать $c_i=0{,}25/N$, то есть отклониться от договоренности, независимо от того, придерживаются остальные договоренности или нет. Да, всем вместе доступно распределение, в котором каждый получает по $U=1/4 + R$, но каждому по отдельности невыгодно находиться в этом распределении, потому что чуть-чуть снизив свое $c$, соплеменник увеличит свое $U$ — и так думают все соплеменники.
Пример. Пусть $N=2$ и $c_1=0{,}25$, то есть первый ведет себя так, как ты ему предложил. Какое должно быть $c_2$? Если оно будет тоже 0,25, то второй получит полезность $0{,}25+R$. Но если $c_2$ будет равно 0,25/4, то второй получит полезность аж $$u_2=\frac{0{,}5+0{,}5/2}{2}-0,25/4+R=0{,}3125+R. $$
Но это не будет равновесной ситуацией, потому что тут первый ведет себя нерационально: он тоже мог бы увеличить свою полезность, работая меньше (снижая при этом полезность второго).
(Вот тут описано несколько сходных ситуаций)
Если же вы имеете в виду $y_j$, то это количество урожая, которое собрал $j$-й соплеменник.
Она переводится так: количество добычи, который съест $i$-й соплеменник ($x_i$), равно деленной на $N$ сумме того, что принесут из леса все соплеменники, то есть сумма добычи всех $j$-х соплеменников ($y_j$), где $j$ принимает значения от 1 до $N$.
Согласитесь, если в этом описании $j$ заменить на $i$, будет странно: еда $i$-го — это то, что принесли все $i$-е.
$j$ нужно, чтобы нумеровать всех соплеменников (где-то среди них встретится и $i$-й).