Задача

В олимпиадах

Конкурс РЭШ — 2011

Раздел

Баллы

16

Темы

Сложность

7.5
Средняя: 7.5 (2 оценок)

Автор

08.04.2011, 07:32 (Григорий Хацевич)
09.01.2016, 23:37


(0)
Саша и Маша пекут пирог. Размер получившегося пирога $ \pi $ зависит как от усилий Саши, так и от усилий Маши: $ \pi =e_C +e_M $ , где $ e_C$ и $ e_M $ – усилия Саши и Маши соответственно. Готовый пирог затем разрезается на две части размером $ \pi_C $ и $ \pi_M $ , достающиеся, соответственно, Саше и Маше ($\pi_C +\pi_M =\pi $ ).
Итоговое удовольствие каждого зависит как от размера полученной части пирога, так и от затраченных усилий:$$U_C =\pi_C -\frac{e_C^2 }{4}, U_M =\pi_M -\frac{e_M^2}{8}$$

(а) Допустим, мама установила такие правила: каждый из ребят независимо друг от друга выбирает уровень усилий, а затем получившийся пирог делится между ними ровно пополам. Какие уровни усилий они выберут, максимизируя каждый свое удовольствие? Каков будет общий размер пирога?
(б) Может ли мама увеличить удовольствие каждого из ребят по сравнению с первоначальной ситуацией, принудительно устанавливая уровни усилий и затем собственноручно деля пирог в некоторой пропорции?
(в) Известно, что удовольствие мамы растёт, если увеличивается удовольствие одного из детей, и при этом не уменьшается удовольствие другого. Достаточно ли этой информации, чтобы определить, какие уровни усилий установит мама, максимизируя собственное удовольствие?
(г) Как-то раз мама задержалась на работе, и за главного остался папа. Он весь вечер смотрит футбол и поэтому не может наблюдать уровни усилий ребят; а раз так, то устанавливать их тоже бесполезно. Зато он может заранее объявить, в какой пропорции он будет делить между ребятами готовый пирог. Как и в пункте «а», предполагаем, что ребята выбирают уровни усилий независимо друг от друга.
Верно ли, что Саше будет в итоге тем лучше, чем больше предписанная ему доля? Верно ли, что, какова бы ни была первоначальная пропорция дележа, папа, переустанавливая ее, сделал бы одному из ребят хуже?