Уборка в общежитии

Полезность Алексея имеет вид: $U_a=(x_a+x_m )(8-2x_a)$. Относительно выбираемой переменной $x_a$ это парабола с ветвями вниз, она имеет вершину в точке $x_a^*=(4-x_m)/2 (при x_m<4)$. (4 балла)

Подставляя это в полезность Михаила, получаем: $U_m=((4-x_m)/2+x_m )(8-x_m)$ . Это также парабола с ветвями вниз, она имеет вершину в точке $x_m^*=2$. Получаем, что $x_a^*=1$, $G^*=3$. (4 балла)

(б) (8 баллов) Полезности обоих ребят в а) равны 18. Легко привести примеры уровней усилий такие, что полезности обоих больше, чем 18. Например, если каждый будет убираться немного больше (скажем, $x_m^*=3, \ x_a^*=2$), то полезность Михаила вырастет до 25, а полезность Алексея – до 20. (4 балла за любой пример) Комната при этом будет чище.

Можно ли привести пример такой пары уровней усилий, что обоим лучше по сравнению с а), но комната оказывается грязнее, чем в а)? Докажем, что сделать этого нельзя.
Имеем систему
$$\begin{cases}
U_m=(x_a+x_m )(8-x_m)>18\\
U_a=(x_a+x_m )(8-2x_m)>18
\end{cases}$$
Если при каких-то уровнях усилий $x_m^*, x_a^*$ полезность Алексея оказалась больше, чем 18, то максимальная полезность Алексея при уровне усилий Михаила, равном $x_m^*$, и подавно должна оказаться больше 18. Подставляя функцию наилучшего ответа Алексея $x_a=\frac{(4-x_m)}{2}$, в его полезность, получаем, что максимально достижимая полезность Алексея равна $U_a^\max=\frac{(4+x_m)^2}{2}$.
Поэтому из второго уравнения системы следует, что $\frac{(4+x_m)^2}{2}>18$, откуда $x_m^*>2$.
Это означает, что в левой части первого уравнении системы второй сомножитель меньше 6. Поскольку произведение должно оказаться больше 18, первый сомножитель (чистота комнаты) должен быть больше 3, что и означает, что комната должна оказаться чище, чем в (а).
Итак, обоим может стать лучше только в случае, если комната окажется чище. (4 балла)