Фруктовая страна (10-11)

Всю задачу можно решить двумя способами – либо с помощью геометрических соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно, участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-то – аналитически).
Заметим, что луч $Y = X$ пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометрических соображений видно, что точка (48; 48) должна находиться выше КПВ страны. Для дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.
Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24 − X)$, $Y = b(24 − X)$, $Y = c(24 − X)$. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = a(72 − X)$. Пересечение этой прямой и прямой $Y = X$ должно произойти при $X < 48$. Точка пересечения имеет абсциссу $72a/(a + 1) < 48$, откуда $a < 2$. Это аналитический вариант условия о том, что точка (48; 48) должна находиться выше КПВ страны.
Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться 1, так как стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия торговли. Рассмотрим три случая.
а) Допустим, а. и. равны 1 в регионе А.
Способ 1. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответстующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = 72 − X$ . И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой $Y = 72 − X$ . В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше 72, а по условию он равен 104. Противоречие.
Способ 2. Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24 − X)$, $Y = b(24 − X)$, $Y = c(24 − X)$. Тогда максимальное производство бананов равно $24(a + b + c) < 24 \cdot 3a = 72$. По условию же оно равно 104. Противоречие.

b) Допустим, а. и. равны 1 в регионе B.
Способ 1. Поскольку участок общей КПВ, соответствующий региону B, является «средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изменятся, а по условию $Z > 0$. Противоречие.
Способ 2. Поскольку точка (48; 48) лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на среднем участке равен 1, вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой $Y = 96 − X$ , а значит, максимальное производство бананов в стране меньше 96. По условию же оно равно 104. Противоречие.
Способ 3. Поскольку $b = 1$ и $c < b$, а по выведенному выше $a < 2$, максимальное производство бананов, равное $24(a + b + c)$, меньше $24 \cdot 4 = 96$. По условию же оно равно 104. Противоречие.
с) Значит, а. и. равны 1 в регионе С. Поскольку выполняется закон возрастающих альтернативных издержек, регион С соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид $Y = 104 − X$ . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых $Y =104 − X$ и $Y = X$, откуда $X = Y = 52$.

Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может принимать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.
Заметим, что точка (24; 80) является точкой излома КПВ, а точка (72; 0) лежит на КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид $Y = 120 − 5X/3$. Поскольку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не может лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых $Y = 120 − 5X/3$ и $Y = X$ . Эти объемы равны 45.
Наконец, по сказанному выше, точка (48; 48) лежит выше КПВ страны, и поэтому объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше 48. Значит, объемы потребления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от 45 до 48, не включая границы. Граница 48 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точка (48; 48) лежит на КПВ, а это не так. Граница 45 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах A и B одинаковы, а по условию это не так.
Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между 45 и 48 возможны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли $Z \in (52 − 48; 52 − 45) = (4; 7)$.