Хитрые издержки

Задача

4.2 Фирмы на совершенно конкурентном рынке

Региональный этап ВОШ — 2011

микроэкономика

производитель и рынки

совершенная конкуренция

Средняя: 7 (9 оценок)

Алексей Суздальцев

08.03.2011, 01:52 (Алексей Суздальцев)
07.01.2016, 17:21

(2)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Функция издержек совершенно конкурентной фирмы описывается уравнением
$$TC(Q) =\begin{cases}\frac{Q^2}{5}+10Q+20,\text{ если $Q\le8$;} \\ \frac{Q^2}{5}+100,\text{ если $Q>8$.}\end{cases}$$ .

Найдите функцию постоянных издержек фирмы;
При какой минимальной рыночной цене фирма останется на рынке в краткосрочном периоде?
Интерпретируйте ответ графически.

Решение и ответ

Постоянные издержки, по определению, не зависят от выпуска и равны $TC(0)$.
$FC=TC(0)=20.$
Искомая цена равна $\min AVC.$ (Почему?)
Восстановим функцию $AVC(Q).$ Для этого нам как раз пригодится найденное значение постоянных издержек.
$$VC(Q)=TC(Q)-FC =\begin{cases}\frac{Q^2}{5}+10Q,\text{ если $Q\le8$;} \\ \frac{Q^2}{5}+80,\text{ если $Q>8$.}\end{cases}$$

Значит, $$AVC(Q) =\begin{cases}\frac{Q}{5}+10,\text{ если $Q\le8$;} \\ \frac{Q}{5}+\frac{80}{Q},\text{ если $Q>8$.}\end{cases}$$

При $Q\le 8$данная функция линейна, монотонно возрастает и стремится к 10 при стремлении выпуска к нулю.
При $Q\ge 8$исследуем нашу функцию с помощью производной:
$AVC^{'}(Q)=\frac{1}{5}-\frac{80}{Q^2}=0\Rightarrow Q=20$ - критическая точка нашей функции. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, эта точка является точкой локального минимума.
$AVC(20)=8,$ что меньше 10. Значит, $Q=20$ является также и точкой глобального минимума данной функции; $\min AVC=8,$ что и соответствует искомому значению цены.
1-й способ иллюстрации. График функции $AVC(Q)$будет иметь вид

2-й способ иллюстрации. График предельных издержек $MC(Q)$будет иметь вид (выделен красным):

Ответ:

см. выше

Примечание:

Задачу можно было решить и по-другому – используя функцию предельных, а не средних переменных издержек. Для этого можно было заметить, что искомая цена должна быть проведена так, чтобы площади $S_1$и $S_2$на рисунке были равны. Причину этого замечательного факта вам поможет понять первая задача Всероса 2008 года.
При решении задачи можно было обойтись и без производной; правда, для этого потребовалась бы некая необычная смекалка.
Нам на определенном этапе нужно найти минимальное значение выражения
$$AVC(Q)=\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}.$$
Заметим, что для любых двух неотрицательных чисел $a$и $b$верно следующее неравенство (неравенство Коши, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом):
$$a+b\ge2\sqrt{ab}.$$
Подставим вместо $a$величину $\frac{Q}{5},$ а вместо $b$ – величину $\frac{80}{Q}$; получим
$$\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}\ge2\sqrt{\frac{Q}{5}\frac{80}{Q}}=2\sqrt{16}=8.$$
Таким образом, мы получили, что $AVC(Q)=\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}\ge 8.$
При этом нижняя граница в данном неравенстве действительно достигается (при $Q,$ подобранном так, чтобы $a$и $b$были равны, то есть при $Q = 20$). Отсюда и следует, что 8 – истинный минимум функции средних переменных издержек, который нам надо найти.

Да! На этой великой формуле у многих и возникли проблемы :) минимум функции $AVC=0.2Q+\frac{100-20}{Q}$ можно кстати посчитать быстро как 2 корня из ab тоесть, $2\sqrt{0.2*80}=8$ , итого $AVC_{min}=8$

Максим Максимов ↑

08.03.2011 14:48 ссылка

это уже конечный, 100%-но верный ответ?)

Глеб Ярных ↑

08.03.2011 14:51 ссылка

На первом участке минимум AVC будет 10, а тут 8, при Q заведомо большем 8 (попадающим в D(f) так сказать)
Вроде ничего не путаю.

Алексей Суздальцев

15.03.2011 03:01 ссылка

Опубликовано решение)

Игорь Черашев

13.01.2016 22:13 ссылка

А почему 100 не FC?

Никита Буханченко ↑

20.07.2017 01:22 ссылка

определение постоянных издержек: не зависят от количества выпускаемой продукции. а соточка появляется когда мы производим определенное количество продукции, т.е. больше 8

Андрей Попков ↑

02.01.2022 11:27 ссылка

Потому что FC это Q(0), а у нас на интервале меньше 8 лежит 0, где функция Q(0)=20

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
Автономные налоги и функция потребления	10
Европия и Американия	10
Марина-монополист	10
Мировая КПВ или абсолютно мобильная рабочая сила	17
Хитрые издержки	13

Другие задачи из этой же подборки

Задача	Баллы
Значение максимальной получаемой прибыли равно 70
Отраслевая функция предложения
Производство смеха
Рынок совершенной конкуренции
Сколько фирм в отрасли?
Хитрые издержки	13
Целочисленный объем производства

11-й класс

Задача	Баллы
максимизация прибыли в краткосрочном периоде
Функция предложения

В подборках

В олимпиадах

Баллы

Темы

Сложность

Автор

Комментарии

Все задачи этой олимпиады

Другие задачи из этой же подборки