Саша и Маша пекут пирог

а) Размер части пирога, получаемый как Сашей, так и Машей, окажется равен $\frac{e_C+e_M}{2}$. Зная это, каждый будет выбирать свой уровень усилий так, чтобы его итоговое удовольствие было максимально. Сашино удовольствие будет равно $$U_C=\frac{e_C+e_M}{2}-\frac{e_C^2}{4}.$$
Заметим, что график Сашиного удовольствия, как функции от его усилий, является параболой с ветвями вниз, причем абсцисса точки вершины этой параболы не зависит от значения усилий Маши и равна 1. Значит, какого бы уровня усилий Саша ни ожидал от Маши, ему будет выгодно выбрать уровень усилий, равный 1. Машино же итоговое удовольствие равно $$U_M=\frac{e_C+e_M}{2}-\frac{e_M^2}{8}.$$ Аналогично предыдущим рассуждениям, получаем, что независимо от усилий Саши Маше будет выгодно выбрать уровень усилий, равный 2.

В итоге они испекут пирог размером 3; итоговое удовольствие Саши будет равно $\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, итоговое удовольствие Маши — $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$.

б) Да, это возможно. Если, например, мама установит уровни усилий $e_C=2$ и $e_M=4$, а затем отдаст 2,5 единицы пирога Саше, а 3,5 — Маше, то удовольствие Саши составит $2,5-1=1,5$, а удовольствие Маши — $3,5-2=1,5$. По сравнению с предыдущим пунктом, повысится удовольствие каждого. Почему получилось так, что в отсутствии мамы Саша и Маша сами не выбрали эти уровни усилий, испекли слишком маленький пирог, и попали в ситуацию, которую можно было бы улучшить для обоих?

Как и в задаче про пробки, ответ заключается в том, что, самостоятельно принимая решения об уровнях усилий, Саша и Маша учитывают только выгоду для себя, в то время как рост усилий одного приносит выгоду не только ему, но — через увеличившийся пирог — и другому. Здесь мы опять имеем дело с внешним эффектом, однако уже не отрицательным, а положительным. При принятии решения об усилиях Саша и Маша недоучитывают этот положительный эффект и стараются «слишком мало». В итоге неудивительно, что все заканчивается слишком маленьким пирогом и неэффективностью.

в) Информации для того чтобы определить, какие уровни усилий выберет мама, достаточно. Докажем, что, максимизируя собственное удовольствие, она точно выберет пару уровней усилий, при которой максимально суммарное удовольствие ребят.

Заметим, что суммарное удовольствие ребят как раз зависит только их уровней усилий, но не от конкретного распределения пирога:

$$U_C+U_M=e_C+e_M-\frac{e_C^2}{4}-\frac{e_M^2}{8}=\left(e_C-\frac{e_C^2}{4}\right)+\left(e_M-\frac{e_M^2}{8}\right).$$

Сумма удовольствий максимальна, если максимально выражение в каждой из скобок. Значит, уровни усилий, максимизирующие суммарное удовольствие ребят, равны $e_C=2$ и $e_M=4$. При этих уровнях усилий величина пирога составит 6, а максимальная сумма удовольствий будет равна 3.

Нам будет полезна следующая лемма, обобщающая результат пункта б):
Пусть пара уровней усилий $(e_C;e_M)$ не совпадает с парой (2;4), и пусть распределение пирога при уровнях усилий $(e_C;e_M)$ задано. Тогда при переходе от уровней усилий $(e_C; e_M)$ к уровням усилий $(2;4)$ можно подобрать такое новое распределение пирога, что удовольствие каждого из ребят вырастет.

Доказательство:
Обозначим первоначальные уровни удовольствия за $U_C$ и $U_M$. Заметим, что, раз пара $(e_C;e_M)$ не совпадает с парой (2;4), то $U_C+U_M<3$. Дадим в новой ситуации кусок размером $\pi_M$ Маше и кусок размером $2+4-\pi_M$ — Саше. Удовольствие каждого вырастет по сравнению с первоначальной ситуацией тогда и только тогда, когда
$$\begin{cases}\pi_M-2>U_M;\\6-\pi_M-1>U_C,\end{cases}$$
что эквивалентно $U_M+2<\pi_M<5-U_C$. Иными словами, мы сможем добиться роста удовольствия каждого, если подберем $\pi_M$, удовлетворяющее неравенству $U_M+2<\pi_M<5-U_C$. Однако $U_C+U_M<3$, и поэтому $U_M+2<5-U_C$. В силу этого, подобрать нужное значение $\pi_M$ всегда можно. Лемма доказана.

Доказанная лемма означает, что если уровни усилий не совпадают с (2;4), то всегда можно увеличить удовольствие обоих — для этого надо перейти к уровням усилий (2;4) и специальным образом распределить пирог (что мы, кстати, и сделали в пункте б)). Но раз при этом увеличится удовольствие обоих, то увеличится и удовольствие мамы.

Значит, пока пара усилий не совпадает с (2;4), всегда остается возможность для увеличения удовольствия мамы.

Таким образом, максимизируя собственное удовольствие, мама обязательно установит уровни усилий $e_C=2$ и $e_M=4$.

г) Аналогично пункту а), найдем, какие уровни усилий выберут ребята, и какое в итоге удовольствие они получат, если папа предпишет долю $\alpha$ пирога Саше, а $(1-\alpha)$ — Маше. Саша будет максимизировать величину $\alpha(e_C+e_M)-\frac{e_C^2}{4}$ и выберет $e_C=2\alpha$. Маша будет максимизировать величину $(1-\alpha)(e_C+e_M)-\frac{e_M^2}{8}$ и выберет $e_M=4(1-\alpha)$. Подставляя эти объемы усилий в функции удовольствия ребят, получаем, что в итоге удовольствие Саши составит $U_C=4\alpha-3\alpha^2$, а удовольствие Маши будет равно $U_M=2(1-\alpha)$.

Заметим, что удовольствие Саши не является монотонной функцией от $\alpha$. Действительно, функция $U_C=4\alpha-3\alpha^2$ растет по $\alpha$ лишь при $\alpha<\frac{2}{3}$. Достигая максимума в этой точке, она затем начинает убывать. Значит, неверно, что удовольствие Саши тем больше, чем больше предписанная ему доля: например, если доля Саши вырастет с $\frac{2}{3}$ до 1, то его удовольствие только снизится.

Как объяснить этот «парадокс»? Дело в том, что абсолютный результирующий размер пирога равен $4-2\alpha$, и он убывает с ростом доли Саши. Когда доля Саши растет, доля Маши падает, и она начинает прилагать меньше усилий, что перекрывает эффект от увеличения усилий Сашей: размер испеченного пирога падает. В итоге получаем, что с ростом $\alpha$ Саша начинает получать большую долю, но от меньшего пирога. Неудивительно, что иногда это может приводить к снижению итогового удовольствия Саши.

Такая немонотонная зависимость удовольствия Саши от его доли дает возможность построения примера, когда изменение предписанных ребятам долей сделает лучше обоим: например, если изначально доля Саши была равна 1, то снижение ее до $\frac{2}{3}$ увеличит удовольствие Маши с нуля $\frac{2}{3}$ и увеличит удовольствие Саши с 1 до $\frac{4}{3}$.