Коньяк и клюквенный морс

В питейном заведении Хромого Хью по секретной технологии изготавливаются два вида популярных коктейлей: «Кровавый Джон» и «Кровавый Джон Light». Для приготовления одной порции «Кровавого Джона» необходимы две унции коньяка и одна унция клюквенного морса, порция «Кровавого Джона Light» готовится из одной унции коньяка и двух унций клюквенного морса. (Примечание автора задачи: НЕ ПОВТОРЯТЬ! ОПАСНО!). Для закупки ингредиентов Хромой Хью располагает бюджетом в 180 талеров. Цена одной унции коньяка составляет 4 талера, морс стоит 1 талер за унцию.

Выведите уравнение КПВ фирмы в координатах «Кровавый Джон Light» - «Кровавый Джон».
Пусть спрос на «Кровавого Джона» задается уравнением $Q = 40 - 2P$ , а спрос на «Кровавого Джона Light» - уравнением $Q = 30 - 2P$ . Какие цены на коктейли следует установить Хью, если, помимо расходов на ингредиенты, переменные издержки отсутствуют?

Решение и ответ

1 Обозначим «Кровавый Джон» - $Y$ , «Кровавый Джон Light» - $X$ .
Тогда $AC(Y) = 2*4 + 1*1 = 9$ ; $AC(X) = 1*4 +2*1 = 6$ .
Ограничение на производимые объемы коктейлей будет иметь вид $6X + 9Y = 180$ . Это и есть искомое уравнение КПВ.

2)При оптимизации возникает соблазн использовать уравнение КПВ как равенство (выразить из уравнения КПВ $Y$ через $X$ , получить функцию прибыли от одной переменной и максимизировать ее - назовем это "Планом П"). Однако ни откуда не следует, что оптимальным для предпринимателя было бы потратить все деньги на закупку ингредиентов. Чтобы проверить это, решим задачу монополиста отдельно на каждом рынке, без учета КПВ. Если в результате решения этой задачи мы попадем в точку под или на КПВ (которая фирме доступна), то полученное решение и примем как оптимум. Если же мы попадем в точку над КПВ, (которая фирме не доступна), то cтанет очевидным, что для нахождения оптимума необходимо КПВ учитывать и действовать по "Плану П".

$(20 - Y/2)Y - 9Y \to \max \Rightarrow Y = 11,{\text{ P}}_{\text{Y}} = 14,5$ .
$(15 - X/2)X - 6X \to \max \Rightarrow X = 9,{\text{ P}}_{\text{X}} = 10,5$ .

Но $9*6 + 11*9 = 153 < 180$ ! "План П" отменяется: в оптимуме фирма потратит на закупку ингредиентов 153 талера из 180, выбрав тем самым точку под КПВ.

Ответ:

«Кровавый Джон» - 14,5 талеров; «Кровавый Джон Light» - 10,5 талеров.

Примечание:

Подумайте над утверждением "оптимальное использование ресурсов не всегда должно быть полным". Доказывет ли данная задача его истинность? Приведите аргументы за и против.