Задача

В подборках

Индивидуальный выбор

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

22.01.2012, 21:46 (Григорий Хацевич)
22.01.2012, 23:43
Робинзон Крузо умеет добывать кокосы и крокодилов. Его КПВ описывается формулой $y=5-x^{2} /5$, где $x$ — количество кокосов (в килограммах), $y$ — количество крокодилов (в килограммах). Робинзон питается исключительно крококосовой кашей. Чтобы изготовить килограмм каши, требуется израсходовать килограмм кокосов и килограмм крокодилов. Чем больше каши съест Робинзон, тем ему лучше. На мировом рынке кокосы можно продавать и покупать по 0,4 руб./кг, а крокодилов — по 1 руб./кг.

  1. Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон, если бы у него не было доступа к мировому рынку? Сколько килограммов каши он бы при этом съедал?
  2. Сколько кокосов и крокодилов добывает Робинзон, если у него есть доступ к мировому рынку? Сколько килограммов каши он при этом съедает?
  3. Покажите графически (в координатах $x,y$), как будет изменяться производство и потребление Робинзона, если цена кокосов будет плавно изменяться (расти либо снижаться). Верно ли, что чем выше цена кокосов (при неизменной цене крокодилов), тем лучше Робинзону?
  4. Придумайте функцию полезности вида $U(x,y)=...$, которая бы отражала описанные выше предпочтения Робинзона.
  5. Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон при наличии доступа к мировому рынку с ценами 0,4 руб./кг и 1 руб./кг, если бы его предпочтения описывались функцией $U(x,y)=x\cdot y$? А если $U(x,y)=x+\sqrt[{8/9}]{sin^{2} y+1} $?

Комментарии

1) y=x=5-x^2/5, отсюда $2.5(\sqrt{5}-1)$. Каши он съест $2.5(\sqrt{5}-1)$
1) он должен максимизировать величину (x+y) насколько я понимаю. а это получается (x+5-x^2/5), производную к нулю и получим 2,5 набора. Эрик, как у тебя еще корень из пяти минус один получился?
У меня также как у Эрика в 1-ом, он максимизирует кол-во каши, а для каши нужны крокодилы и кокосы в пропорции 1 к 1.
все, разобрался
1)3.09 каши
2)3.625 каши
4)U(x1,x2)=min{x1,x2).
как ты выввел функцию полезности?
В задании написано не вывести, а придумать)
С таким же успехом могло быть U(x1,x2)=2*min{x1,x2} или U(x1,x2)=(min{x1,x2})^2
Суть в том, что Робинзон получает удовольствие от кол-ва съеденной каши, а это в свою очередь равно минимальному из 2-ух чисел: кол-во крокодилов и кокосов в распоряжении Робинзона... Не уверен, что это правильное решение.
точно)) не заметил) думал вывести)))
2) у меня получилось $26/7\approx 3.71$; там, в принципе, простая максимизация.
3)Нет. Заметим, что количество каши, которое будет потреблять Крузо зависит от цены на кокосы следующим образом:$Q_{porridge}=5\frac{0,25P_{coco}^2+1}{1+P_{coco}}$. Очевидно, эта функция не монотонно возрастающая по $P_{coco}$.
5) Такой же набор как и в 2) - $(1;4,8)$. Очевидно, что данный набор оптимален для любой функции $U(x;y)$ при данных ценах и нулевых издержках утилизации.
3) Функция $ Q_{porridge}=5\frac{0,25P_{coco}^2+1}{1+P_{coco}} $ стремится к бесконечности при неограниченном увеличении $P_{coco}$. Действительно ли Робинзон может потребить сколь угодно большое количество каши?
5) Набор $ (1;4,8) $ действительно является оптимальным для производства при любой функции полезности, но в задаче спрашивается "Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон"; и как только может быть несколько оптимальных наборов, мы уже не можем утверждать, что Робинзон выберет именно набор $ (1;4,8) $. Например, если $U(x,y)=8$, то набор $(0,0)$ столь же хорош для производства, как и набор $ (1;4,8) $. Но что можно сказать о функциях, данных в условии: может, для них оптимум таки будет единственным?

P.S. Если что, разбор этой задачи есть на видео.

3)понял - формула верна при $P_{coco}\leq 2$; при $P_{coco}\geq 2$: $Q_{porridge}=5\frac{P_{coco}}{1+P_{coco}}$. Ответ на пункт не меняется.
4) Можно задать функцию полезности $U(x,y) = 0,5x^2 + 0,5y^2 - xy$. Если взять производную по $x$ и приравнять к нулю, получим: $x - y = 0; x=y$, аналогично можно сделать и по переменной $y$, также получим $x=y$, следовательно, Робинзону всегда оптимально выбирать такой набор $(x,y)$, при котором $x=y$.
Верно?
Неудачный пример - здесь x=y как раз минимум.
Да, точно. Тогда: $U(x,y)= - 0,5x^2 - 0,5y^2 + xy + a$, где $a > 0$, иначе максимальная полезность равна нулю и индивиду будет безразлично потреблять или нет .
По условию "Чем больше каши съест Робинзон, тем ему лучше". А в вашем примере это свойство не выполняется. В вашем случае два килограмма каши (x=y=1) и 100 килограммов каши (x=y=50) принесут Робинзону одинаковую полезность.
Точно, спасибо.
Брать частную производную по какой-то переменной и приравнивать её к нулю имеет смысл тогда, когда мы находимся во внутренней точке доступного множества; в частности, можем чуть-чуть увеличить эту переменную (при неизменных остальных переменных) и остаться в рамках этого множества. Но в большинстве случаев оптимум находится на границе доступного множества (на бюджетной линии), и тогда приравнивать частную производную к нулю не имеет смысла: ведь что толку, что полезность могла бы вырасти при небольшом увеличении этой переменной (и неизменных остальных переменных), если такое увеличение невозможно?

Функция полезности, отражающая описанные предпочтения Робинзона, по определению должна давать тем большие значения парам вида (x,y), чем больше можно изготовить каши из данной пары.

Я так понял: в условиях бюджетного ограничения, необходимо вывести функцию $y(x)$, соответствующую бюджетному ограничению, подставить эту функцию в функцию полезности вместо $y$, а затем максимизировать по $x$.
Но ведь задание было составить функцию, в которой самым оптимальным набором благ $x$ и $y$ будет набор, при котором $x = y$. В составленной функции максимум достигается, когда $x = y$.
Не понимаю ошибки.
1. Qкаши$=x=y=2.5(\sqrt{5}-1)$
2. $26/7$
3. Чем ниже цена кокосов, тем больше производство крокодилов
Нет, не правда
5. $U(x,y)=xy$, то $x=y=2.5(\sqrt{5}-1)$
Во втором случае $x=13-1,25\pi$ $y=\pi/2$
Объясните, пожалуйста, решение 2 пункта.
Да, скажите пожалуйста, как решать п.2. У меня никак не получается 26/7. Только приблизительно
Так как открыт доступ к рынку, то Робинзон может производить некоторое количество икса и игрека(при этом не исходя из пропорции потребления), а в дальнейшем обменивать их на внешнем рынке до того момента, пока количество икса не станет равно количеству игрека (исходя из пропорции потребления).
$TR=Px*X+Py*Y$ => $Y=TR/Py-Px/Py*x$, где $Px/Py=0,4$(по условию). Очевидно, что Робинзон выберет для продажи на рынке именно то количество крокодилов и кокосов, которое при дальнейшем обмене обеспечит максимально возможное кол-во порций каши. Для этого будем проводить параллельные друг другу кривые, уравнение которых представлено выше. Заметим, что максимальное число наборов можно будет достигнуть в случае касания кривой выручки и КПВ. Найдем эту точку: $Y'_{КПВ}=Y'_{TR}$ => $-0.4x=-0.4$ => $x=1$, а$ Y$, соответственно, $4,8$. Эта точка лежит как на КПВ, так и на кривой выручки. Теперь найдем уравнение выручки по известному нам наклону $-0.4$ и одной точкой на ней (1;4,8). =>$Y=5,2-0,4X$. Фактически, это и есть наша новая КПВ, так как произведя 4,8Y и 1X, мы можем обменять некоторое количество Y на X, в результате чего получим: $X=5,2-0.4X$ => $X=Y=26/7$, а, соответственно, и $26/7$ порций каши.
Спасибо. Могу я сказать, что уравнение выручки - это КТВ?