Тяп-Ляп

Фирма «Тяп-Ляп» действует в конкурентной отрасли, цена продукции равна $8$ д. е. Известно, что производство q единиц продукции сопряжено для фирмы с издержками в размере $q^2$ д. е. К сожалению, доля $\alpha$ конечной продукции оказывается бракованной, а потому подлежит обязательной утилизации. Уничтожение единицы продукции обходится фирме в $2$ д. е. У фирмы есть возможность снизить процент брака (величину $\alpha$): чтобы доля продукции с дефектом уменьшилась на $1$ пункт, необходимо инвестировать $0,25$ д. е.

Ранок паровозов

Фирма «Гудок» является единственным производителем на рынке паровозов в некоторой стране. У фирмы есть шесть потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного паровоза. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за паровоз, составляет 1000 монет. Второй покупатель согласен заплатить за паровоз не более 800 монет. Третий – не более 600. Четвёртый – не более 400. Наконец, пятый и шестой покупатели согласны заплатить за паровоз максимум по 200 монет. По местным законам фирма обязана продавать все паровозы по одинаковой цене.

Все задачи этой олимпиады

7-8 класс
ЗадачаБаллы
Забор вокруг школы10
Манипуляции с вкладом10
Ранок паровозов10
Яблочная10
9 класс
ЗадачаБаллы
Ранок паровозов10
Яблочная10

Фирма "Бордо"

Фирма «Бордо» может производить только целое число единиц некоторого товара. Выбирая только среди целочисленных объёмов выпуска, фирма решила производить 3 единицы. Общие издержки фирмы задаются соотношением $TC=2Q^2+3Q$. Спрос на рынке, на котором действует фирма, является линейным $P=a-bQ$, минимальная цена, при которой величина спроса равна нулю, равняется 30 у.е. Определите, в каких границах может лежать параметр $b$.

Лицензионная

Выпуск фирмы (Q) следующим образом зависит от количества используемого капитала (K) и труда (L): $Q=10K^{0,5}L^{0,5}$. Цена единицы капитала равна 2 д.е., цена единицы труда равна 2 д.е. В краткосрочном периоде запас капитала фиксирован и равен 4 единицам. Кроме оплаты капитала и труда фирма должна платить за лицензию, лицензионный платёж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

"Сигма" и лицензия

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

Ностальгия

В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко стоит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмотря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен $q_t=\max\{100-P_t; 0\}$, где $P_t$ – цена бутылки в году $t$, а $q_t$ – количество купленных бутылок в тысячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене $c=50$ рублей за бутылку и больше не несет никаких издержек.

Плащи-невидимки

Марья арендовала избу за 225 монет в месяц, купила 5 волшебных ткацких станков по 600 монет каждый. Чтобы купить станки, она взяла кредит под 10% в годовых. Через 5 лет волшебные свойства станков исчезнут и производить на них ничего будет нельзя. Для работы наняла Марья Искусница десять девиц-красавиц на все руки мастериц и начали они ткать скатерти да расшивать их диковинными узорами, пятеро ткут, пятеро — расшивают. Платила им за работу Марья Искусница по 200 монет в месяц.

Дискретный фактор производства

Для производства одной единицы товара X требуется одна единица труда, две единицы материала Y, и три единицы материала Z. Цена единицы труда равна 3 д.е., цена единицы материала $Y – 2$ д.е., а цена единицы материала $Z – 1$ д.е. Товар X производится на станках; в месяц на одном станке можно произвести максимум 30 000 ед. товара X. Стоимость аренды одного станка равна 120 000 д.е. в месяц. Кроме того, станок потребляет электроэнергию в расчете 1 квт/час на 1 единицу товара X. Стоимость 1 квт/час электроэнергии равна 1 д.е.

Ягодный король

«Ягодный король» — единственное в районном центре и его окрестностях предприятие, нанимающее работников для сбора ягод в лесу. Для сбора 1 корзины ягод требуется 1 человеко-час. Предприятие может использовать труд местных работников, суммарное предложение труда которых имеет вид $w = L_1 + 10$ ($w$ — заработная плата в час в условных денежных единицах, $L_1$ — количество человеко-часов), и труд 12 мигрантов, каждый из которых готов работать 1 час за любую заработную плату не ниже 5 ден. ед. Производительность местных работников и мигрантов одинакова.