3.6 Производственная функция

Фирма производит свою продукцию, следуя определенной технологии.

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

$Q=f(L;K)$

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L \cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

Восстановление функции спроса

Восстановите функцию спроса, найдите функции общей, средней, предельной выручки (недостающие функции), найдите максимальную выручку, если известно:

  1. $MR=12-6Q$
  2. $MR=\dfrac{40}{\sqrt Q}$
  3. $TR=500$
  4. $TR=10Q-2Q^2$
  5. $AR=\dfrac{100}{\sqrt Q}$

AR, MR и максимизация TR

Спрос описывается следующими уравнениями:

  1. $P=17-Q$
  2. $Q=15-5P$
  3. первая группа покупателей - $Q=10-P$; вторая группа - $Q=20-4P$
  4. $Q=\dfrac{100}{P}$
  5. $Q=\dfrac{100}{P^2}$
  6. $P=5$
  7. $Q=5$

Для каждого случая найти функции общей, средней, предельной выручки, также точку где общая выручка будет максимальной.

3.4 Выручка

Определение 1
Выручка (TR) - это доход (денежная сумма), который фирма получает от продажи по некоторой цене какого-то количества произведенной продукции:
$TR=P\cdot Q$

Функция выручки - зависимость между количеством производимого блага и величиной денежной суммы, получаемой от продажи товара. Функция выручки выводится из спроса:

$TR=P(Q)\cdot Q$

Функции выручки могут иметь совершенно разнообразный вид:

Пример 1

3.3 Пара слов о прибыли фирмы.

Экономическим агентом, производящим различные товары и услуги, является фирма. На рынке именно фирмы формируют предложение экономических благ. О фирме и её деятельности мы будем говорить несколько следующих недель.

Основной целью деятельности фирмы является максимизация прибыли (прибыль часто обозначается символом $\pi$). Что такое прибыль? Это разница между выручкой ($TR$, как мы помним) и общими издержками ($TC$ - total cost) - то количество денег, которое фирма заработала, минус то количество денег, которое она потратила.

$\pi=TR-TC$

Два завода: объединение производственных функций

У Вас есть два завода с технологиями $Q_1=F_1(L_1)$ и $Q_2=F_2(L_2)$. Найдите производственную функцию фирмы в каждом из следующих случаев

Подсказка: пользуйтесь определением производственной функции: она показывает максимально возможный объем производства при заданном запасе труда $L$. Ваша задача в том, чтобы оптимально распределить труд между заводами.

Два завода

Фирма Ивана Ивановича продает сахар на рынке совершенной конкуренции. Фирма может производить сахар на двух заводах. При этом функция издержек на первом заводе имеет вид:
$$
TC_1=\begin{cases}
q_1^2+q_1+100, &\text{ если } q_1>0,\\
0, &\text{ если } q_1=0,
\end{cases}
$$
а на втором заводе:
$$
TC_2=\begin{cases}
2q_2^2+q_2+28, &\text{ если } q_2>0,\\
0, &\text{ если } q_2=0.
\end{cases}
$$
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2015

ЛДН

OOO «ЛДН» производит три товара — Л, Д и Н. В производстве каждого из трех товаров используются два материала — A и B. Компания, поставляющая эти материалы, уведомила ООО «ЛДН», что в следующем месяце она не сможет поставить больше, чем по 2750 единиц каждого из материалов. Других поставщиков компания найти в течение месяца не сможет.

Информация о трех товарах приведена в таблице:

В олимпиадах: 
Московская олимпиада школьников — 2015
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Найм или инвестиции

Фирма Омега существует только два периода и может продавать в каждый период товары Икс и Игрек по заданным ценам, которые установились на рынке. Известно, что в первом периоде цена товара Икс равна 2 ден. ед., а товара Игрек – 3 ден. ед. ($P_Х=2$ и $P_Y=3$), а во втором периоде цена товара Икс на рынке снижается до 0,75 ден. ед. Для производства этих товаров Омега может нанять только две бригады Альфа и Вега.
В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2015
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Столяр-краснодеревщик и его ученик

Столяр – краснодеревщик Иванов – единственный, кто делает сундуки в районе, где он проживает. Средний годовой доход в тыс. руб., который мог бы получать Иванов от продажи сундуков, описывается функцией $AR(Q)=25-Q$, где $Q$ - количество (принимает только целочисленные значения) сундуков. Средние издержки производства одного изделия постоянны и равны 2 тыс. руб. Если столяр наймёт одного ученика, которого будет бесплатно обучать своему мастерству, то средние издержки производства одного сундука снизятся в 2 раза.
В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2015
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной