Два завода

$$pq_{1}-q_{1}^{2}-q_{1}-100.$$

Найдём максимум этой функции.
$$p-1-2q_{1}=0 \phantom $(-2<0 \Rightarrow max) $$
$$q_{1}=\dfrac{p-1}{2}$$

В этом случае прибыль Ивана Ивановича будет равна

$$\dfrac{(p-1)^{2}}{4}-100.$$

Теперь рассмотрим прибыль Ивана Ивановича, если он будет производить на втором заводе. Функция прибыли будет иметь вид

$$pq_{2}-2q_{2}^{2}-q_{2}-28.$$

Найдём максимум этой функции.

$$p-1-4q_{2}=0 \phantom $(-4<0 \Rightarrow max) $$
$$q_{1}= \dfrac{p-1}{4}$$

В этом случае прибыль Ивана Ивановича будет равна
$$\dfrac{(p-1)^{2}}{8}-28.$$

Сравним теперь, при каких ценах прибыль на каком заводе выше.
\begin{align}
\dfrac{(p-1)^{2}}{4} - 100 \quad &vs. \quad \dfrac{(p-1)^2}{8}-28\\
\dfrac{(p-1)^2}{8}\quad &vs.\quad 72\\
(p-1)^2 \quad &vs. \quad 8^{2}\cdot 3^{2}\\
p-1 \quad &vs.\quad 24\\
p\quad &vs. \quad 25\\
\end{align}

Итак, если цена выше 25, то лучше производить (если вообще производить) на первом заводе. Если же цена меньше 25, то на втором. Теперь нужно найти, при какой цене вообще выгодно производить сахар. Видим, что при цене 25 прибыль Ивана Ивановича положительна. Тогда, чтобы найти минимальную цену, при которой выгодно производить, сравним прибыль от производства на втором заводе с нулём.
\begin{align}
\dfrac{(p-1)^{2}}{8}-28 \quad &vs.\quad 0\\
(p-1)^{2}\quad &vs.\quad 14\cdot 4^{2}\\
p-1\quad &vs.\quad 4\sqrt{14}\\
p\quad &vs.\quad 4\sqrt{14}+1<25\\
\end{align}
Итак, вообще выгодно производить при цене выше $4\sqrt{14}+1$. Тогда получаем следующее предложение фирмы Ивана Ивановича.

\begin{equation}
q=
\left\{
\begin{aligned}
0\quad&, p < 4\sqrt{14}+1\\
\dfrac{p-1}{4}&, p \in [4\sqrt{14}+1; 25]\\
\dfrac{p-1}{2}&, p>25\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Остаётся нарисовать график предложения.

(б) Так как производство на одном заводе не влияет на производство на другом заводе, то нам достаточно понять, когда производство на каждом из заводов в отдельности прибыльно. Для второго завода мы уже это нашли в первом пункте. Найдём это для первого завода.

\begin{align}
\dfrac{(p-1)^{2}}{4}-100 \quad &vs.\quad 0\\
p-1 \quad &vs. \quad 20\\
p \quad &vs. \quad 21\\
\end{align}

Итак, на первом заводе прибыльно производить при цене больше 21. Тогда, начиная от этой цены, Иван Иванович будет использовать сразу оба завода. Сложив кривые предложения двух заводов, мы получаем, что общее предложение при цене больше 21 будет иметь вид

$$q=\dfrac{3(p-1)}{4}.$$
Тогда общая кривая предложения будет иметь вид

\begin{equation}
q=
\left\{
\begin{aligned}
0\qquad&, p < 4\sqrt{14}+1\\
\dfrac{p-1}{4}\quad&, p \in [4\sqrt{14}+1; 21]\\
\dfrac{3(p-1)}{4}&, p>21\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Остаётся нарисовать график предложения.

(в) Для Ивана Ивановича существует 4 варианта производства: не производить вообще, производить на первом заводе, производить на втором заводе и производить на обоих заводах сразу. Чтобы понять какой из вариантов предпочтительнее, решим отдельно задачу максимизации прибыли в каждом из четырех случаев. Если не производить вообще, прибыль равна 0.
Если используется только первый завод, то из условия $MR=MC$ находим, что
$2q+1=37-2q$ и оптимальным выпуском будет $q=9$, а прибыль будет равна
$$(37-9)\cdot 9 -81 - 9- 100 =62.$$
Если используется только второй завод, то из условия $MR=MC$ находим, что $4q+1=37-2q$и оптимальным выпуском будет $q=6$. Тогда его прибыль будет равна
$$(37-6)\cdot 6 -2\cdot 36 - 6- 28 =80.$$
(+3 балла) Если используются оба завода, то необходимо найти, в какой пропорции они будут использоваться. При фиксированном суммарном выпуске $q=q_{1}+q_{2}$ предельные издержки производства на каждом из двух заводов должны быть равны, откуда получаем $2q_{1}+1=4q_{2}+1$. Поэтому

$$q_{1}=\dfrac{2q}{3}, \quad q_{2}=\dfrac{q}{3}.$$
Тогда общие издержки равны
$$TC(q)=\dfrac{2q^{2}}{3}+q+128$$
Максимизируя прибыль, из условия $MR=MC$, получаем $q=10.8$, а соответствующая прибыль будет равна
$$(37-10.8)\cdot10.8 - \dfrac{2\cdot10.8^2}{3} - 10.8 - 128 =$$
$$= (37-19)\cdot 10.8-128=66.4.$$
Итак, видим, что прибыль будет наибольшей, если $q=6$. Это и будет количество сахара, которое продаст Иван Иванович. Цена на сахар в этом случае будет
$$37-6=31.$$