27.12.2011, 21:54

Сооснователь сайта ILoveEconomics.
Основатель и директор ВМШ.
Мои задачи и подборки.
О других проектах: http://hatsevich.ru

На сайте с 2008 г. (блог)
Эта страница — подборка. Общая информация о подборках: http://iloveeconomics.ru/blogs/id3/1081.


Общая идея всех эластичностей:
$\text{эластичность функции}\approx\frac{\text{процентное изменение функции}}{\text{процентное изменение аргумента}}$

Точечная эластичность дифференцируемой функции

Пусть f — некоторая дифференцируемая1 функция одной переменной, определённая на множестве неотрицательных чисел и принимающая неотрицательные значения.

Рассмотрим некоторую точку $x>0$, такую что $f(x)>0$.

Точечная эластичность функции f в точке x обозначается $Ef(x)$ и по определению равна следующей величине: $f'(x)\frac{x}{f(x)} $

Ту же самую величину можно записать по-другому: $$Ef(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\frac{\Delta f}{f(x)} }{\frac{\Delta x}{x} },$$
где $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$

(Константы x и f(x) выносятся за знак предела, и таким образом из второй формулы получаем первую).

Если в данной точке x такой предел существует, значит, при небольших $\Delta x$ мы можем записать: $Ef(x)\approx \frac{\Delta f/f}{\Delta x/x} $. То есть эластичность функции в некоторой точке x приближённо показывает отношение процентного изменения функции к процентному изменению аргумента при небольших значениях $\Delta x$ (подробнее о процентных изменениях можно почитать в главе 3 «Про размерности и проценты».

Упражнения:

Другие виды эластичности

Рассматривается функция Q(P).

Точечная эластичность функции нескольких переменных

Если функция f зависит от нескольких переменных, то нужно указывать, по какой переменной мы считаем эластичность. Например, если функция спроса на некоторый товар зависит от цены этого товара и от дохода покупателя, т.е. $Q_{d} =f(P,I)$, то мы можем посчитать две эластичности: эластичность спроса по цене и эластичность спроса по доходу. Отличие только в том, что в определении используется частная производная (что это такое — см. ниже):

Эластичность спроса по цене:$E_{P} f(P,I)=f_{P}^{'} (P,I)\frac{P}{f(P,I)} $, где $f_{P}^{'} (P,I)$ — (частная) производная функции f по цене.

Эластичность спроса по доходу:$E_{I} f(P,I)=f_{I}^{'} (P,I)\frac{I}{f(P,I)} $, где $f_{I}^{'} (P,I)$ — (частная) производная функции f по доходу.

Что такое частная производная

Пусть задана функция $f$ нескольких переменных (обозначим их число буквой n). Набор из n чисел $x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} $ определяет значение функции: $f(x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )$. Если позволить меняться только одной переменной (например, первой), а все остальные переменные зафиксировать на некотором уровне (например, $x_{2} =8,x_{3} =0.5,...$), то фактически получится функция одной переменной. Производная этой получившейся функции — это и есть то, что называется частной производной функции $f$ по данной переменной (в нашем примере — по первой переменной). Интерпретация: если нарисовать график функции f в зависимости от этой переменной (при фиксированных значениях остальных переменных), то угловой коэффициент касательной к этому графику в некоторой точке $x_{1} $ равен частной производной функции f «в точке» $x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} $. Естественно, если мы поменяем значения какой-либо из фиксированных переменных (например, вместо $x_{2} =8$ поставим $x_{2} =8.5$), то весь этот график может изменить свою форму, в частности, может поменяться наклон в тех или иных точках $x_{1} $. Таким образом, частная производная функции f по первой переменной зависит не только от значения первой переменной, но и от значений остальных переменных. Это отражается и в обозначении: например, если спрос задаётся формулой $Q_{d} =f(P,I)$, то частная производная функции спроса по доходу обозначается $f_{I}^{'} (P,I)$.


1 Дифференцируемая — значит, имеет производную или, что то же самое, имеет касательную к своему графику. Подробнее: глава 2 «Функции».