Когда AC возрастает

Как связаны возрастание/убывание AC в окрестности некоторой точки Q и соотношение между MC(Q) и AC(Q)?

$MC=\frac{\Delta{TC}}{\Delta{Q}}$
$AC=\frac{TC}{Q}$
Q2>Q1
$AC2-AC1\vee0$
$\frac{TC2}{Q2}-\frac{TC1}{Q1}\vee 0$
$\frac{TC2*Q1-TC1*Q2}{Q1*Q2}\vee 0$
знаменатель всегда положительный, его можно отбросить
$TC2*Q1-TC1*Q2\vee0$
$(TC1+\Delta{TC})*Q1-TC1*(Q1+\Delta{Q})\vee 0$
$TC1*Q1+\Delta{TC}*Q1-TC1*Q1-TC1*\Delta{Q}\vee 0$
$\Delta{TC}*Q1-\Delta{Q}*TC1\vee0$
$\Delta{TC}*Q1\veeTC1*\Delta{Q}$
$\frac{\Delta{TC}}{\Delta{Q}}\vee\frac{TC1}{Q1}$
таким образом, можно утверждать, что если $MC>AC$ , то функция АС возрастает, а в противном случае убывает, в окрестностях данной точки
Правда я не очень уверена, потому что толком непонятно что тут конкретно за МС

↑

Григорий Хацевич, 10.1.2012 в 14:08. (ссылка)

Всё-таки по умолчанию MC(Q) - это TC'(Q), а не отношение конечных приращений. А по поводу отношения конечных приращений есть задача "Голубой вагон и MC в дискретном случае"

Владислав Савельев, 27.1.2012 в 21:23. (ссылка)

Выложу мысль, которая меня посетила на днях:
$AC(Q)=\frac{TC(Q)}{Q}, MC(Q)=TC'(Q)$ (далее будет использовать просто $AC, MC, TC$ )
Если в окрестностях некоторой точки $AC$ строго возрастает, то $AC'>0$ , следовательно, $AC'=(\frac{TC}{Q})'=\frac{TC'\cdot Q-TC\cdot Q'}{Q^2}=\frac{TC'\cdot Q-TC}{Q^2}=\frac{MC}{Q}-\frac{AC}{Q}$ , так как $Q>0$ , то определение знака $AC'$ сводится к определению знака выражения $MC-AC$ .
Получим, что $AC$ возрастает, если $AC'>0 \Longleftrightarrow MC>AC$ , и $AC$ убывает, если $AC'<0 \Longleftrightarrow MC<AC$ .

↑

Евгений Дрынкин, 27.1.2012 в 23:03. (ссылка)

верно

↑

Григорий Хацевич, 28.1.2012 в 01:11. (ссылка)

"Если в окрестности некоторой точки $Q_0$ функция $AC$ строго возрастает (т.е. для любых двух точек из этой окрестности выполнено следующее: в той, что правее, значение AC будет строго больше), то $AC(Q)'>0$ для любого Q из этой окрестности". Это утверждение не верно. Придумайте контрпример.

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 02:28. (ссылка)

да, кстати, эту неточность в доказательстве Владислава я не заметил. спасибо!
но последняя строчка, тем не менее, верна

↑

Григорий Хацевич, 28.1.2012 в 14:59. (ссылка)

В зависимости от того, как понимать эту последнюю строчку ("Получим, что $AC$ возрастает, если $AC'>0 \Longleftrightarrow MC>AC$ , и $AC$ убывает, если $AC'<0 \Longleftrightarrow MC<AC$ ."), тоже может получиться неверная фраза. Например, получится неверная фраза, если понимать эту строчку так:
"Если в некоторой точке $Q_0$ выполняется $AC'(Q_0)>0$ , то существует окрестность, содержащая эту точку, такая что в этой окрестности функция AC строго возрастает."
Тут контрпример хитрее.

Упражнение: 1) придумать такой контрпример;
2) написать чётко, в каком смысле можно понимать упомянутую "последнюю строчку", чтобы она стала верным утверждением. (Возможно несколько различных, но правильных пониманий).

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 15:16. (ссылка)

тут или я, или ты, не понимаем происходящего :)
здесь была написана глупость.

↑

Григорий Хацевич, 29.1.2012 в 01:10. (ссылка)

Вот контрпример:

$f(x) =\begin{cases}x^2sin(1/x)+x/2,\text{ если $x\ne0$;} \\ 0,\text{ если $x=0$.}\end{cases}$

↑

Евгений Дрынкин, 29.1.2012 в 01:56. (ссылка)

да, мой косяк. необходимо наложить требование непрерывности производной. прошу прощение за смуту.

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 07:13. (ссылка)

Возможно, что-то из разряда $Q>0$ или что-нибудь связанное с непрерывностью??

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 14:40. (ссылка)

нет, попробуйте рассмотреть функцию вида $y=x^{2k+1}$

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 16:52. (ссылка)

Кстати, я сегодня утром подумал насчет функции $TC(Q)$ вида: $TC(Q)=kQ^{n}, n\geq 1$

Евгений для Вашей функции получается следующее: $g(x)=\frac{y(x)}{x}=x^{2k}$ , а $y'(x)=(2k+1)\cdot x^{2k}$ , получим неравенство $g(x)>y'(x)$ при $x>0$ .
Магия:)
Я подумаю насчет "чётко, в каком смысле можно понимать упомянутую "последнюю строчку", чтобы она стала верным утверждением", но судя по Вашему комментарию анализ выходит за рамки школьного курса математики!

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 19:29. (ссылка)

так понятно, что я всегда могу сдвинуть функцию вправо и поднять нужным образом. вопрос в другом, как связаны производная и возрастание в нуле?

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 19:45. (ссылка)

Евгений, производная какой функции в нуле??

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 20:53. (ссылка)

$y=x^{2k+1}$

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 20:56. (ссылка)

В нуле мы имеем тоску перегиба

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 22:10. (ссылка)

я не про то. я спрашиваю, как связано возрастание функции и производная?

↑

Георгий Карданов, 28.1.2012 в 22:38. (ссылка)

положительный знак производной - возрастание функции, отрицательный - убывание

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 22:42. (ссылка)

вопрос в другом. пусть функция строго возрастает. что можно сказать о ее производной?

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 23:04. (ссылка)

Если нигде нет подвоха, т.е. функция непрерывна и дифференцитуема в каждой точке рассматриваемого интервала, то производная должна быть положительной в каждой точке данного интервала, т.е. $f'(x)>0$ при $x \in$ нашему интервалу (!), но если есть подвох, то не очень просто сказать что-то определенное о знаке производной, ибо если, например, функция имеет много-много точек перегиба, ну это, например, функция $y=\abs{x-1}+\abs{x-2}+...+\abs{x-100500}$ , то функция возрастает на всем промежутке $[50251;+ \infty )$ , а имеет производную на каждом из промежутков $(n;n+1)$ при $n\geq 50251$ и натуральном и от 100501 до $+\infty$ .

Трудно сказать что-то определенное нужен доп. анализ.

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 23:27. (ссылка)

не понял, что вы имеете в виде, но:
1) если производная положительна, то функция возрастает.
2) если функция возрастает, то ее производная неотрицательна (но где-то может равняться нулю)

↑

Владислав Савельев, 29.1.2012 в 08:55. (ссылка)

Постараюсь объяснить:)

"1) если производная положительна,то функция возрастает" - абсолютно согласен, но со вторым пунктом не очень (возможно, это у меня уже глюк).

Если функция возрастает, то производная не обязательно неотрицательна (!) на всем промежутке (!), например, сумма многих-многих модулей (мой пример из комментария выше): такая функция действительно возрастает на некотром интервале, но производная неотрицательна не на всем интервал, где-то она и не существует (точки перелома)

Поправьте, пожалуйста, если я ошибаюсь:)

Евгений, полагаю, Ваш комментарий отражает то, что я и хотел объяснить в своем:)

Алексей Суздальцев, 29.1.2012 в 19:36. (ссылка)

Все так увлеклись математическими тонкостями, что забыли, что эта задача находится в подборке про эластичность. Владислав, Вы пробовали решать это упражнение, используя формулы для эластичности произведения и частного? Ответ должен получиться тот же самый, конечно.

↑

Владислав Савельев, 29.1.2012 в 19:57. (ссылка)

Алексей, у меня получается немного странная вещь:)

Здесь я доказывал, поэтому сразу воспользуюсь.

Если $E_{AC}^{Q}>0 \Longrightarrow$ $AC(Q)$ возрастает, если $E_{AC}^{Q}<0 \Longrightarrow$ убывает (это тоже где-то доказывалось), имеем:
$E_{AC}^{Q}=E_{TC}^{Q}-E_{Q}^{Q}=\frac{TC'(Q)\cdot Q}{TC}-\frac{Q'\cdot Q}{Q}=\frac{MC}{AC}-1$ , если $E_{AC}^{Q}>0$ ( $AC$ возрастает), то $\frac{MC}{AC}-1>0 \Longrightarrow MC>AC$ , ну и если $E_{AC}^{Q}<0$ ( то есть $AC$ убывает), то $\frac{MC}{AC}-1<0 \Longrightarrow MC<AC$ .