Задача
В подборках
Эластичность
В олимпиадах
Эластичность
Темы
Сложность
(1 оценка)
Автор
27.12.2011, 23:01 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29
29.12.2011, 13:29
(0)
Как связаны возрастание/убывание AC в окрестности некоторой точки Q и соотношение между MC(Q) и AC(Q)?
Комментарии
$AC=\frac{TC}{Q}$
Q2>Q1
$AC2-AC1\vee0$
$\frac{TC2}{Q2}-\frac{TC1}{Q1}\vee 0$
$\frac{TC2*Q1-TC1*Q2}{Q1*Q2}\vee 0$
знаменатель всегда положительный, его можно отбросить
$TC2*Q1-TC1*Q2\vee0$
$(TC1+\Delta{TC})*Q1-TC1*(Q1+\Delta{Q})\vee 0$
$TC1*Q1+\Delta{TC}*Q1-TC1*Q1-TC1*\Delta{Q}\vee 0$
$\Delta{TC}*Q1-\Delta{Q}*TC1\vee0$
$\Delta{TC}*Q1\veeTC1*\Delta{Q}$
$\frac{\Delta{TC}}{\Delta{Q}}\vee\frac{TC1}{Q1}$
таким образом, можно утверждать, что если $MC>AC$, то функция АС возрастает, а в противном случае убывает, в окрестностях данной точки
Правда я не очень уверена, потому что толком непонятно что тут конкретно за МС
$AC(Q)=\frac{TC(Q)}{Q}, MC(Q)=TC'(Q)$ (далее будет использовать просто $AC, MC, TC$)
Если в окрестностях некоторой точки $AC$ строго возрастает, то $AC'>0$, следовательно, $AC'=(\frac{TC}{Q})'=\frac{TC'\cdot Q-TC\cdot Q'}{Q^2}=\frac{TC'\cdot Q-TC}{Q^2}=\frac{MC}{Q}-\frac{AC}{Q}$, так как $Q>0$, то определение знака $AC'$ сводится к определению знака выражения $MC-AC$.
Получим, что $AC$ возрастает, если $AC'>0 \Longleftrightarrow MC>AC$, и $AC$ убывает, если $AC'<0 \Longleftrightarrow MC
Тут контрпример хитрее.
Упражнение: 1) придумать такой контрпример;
2) написать чётко, в каком смысле можно понимать упомянутую "последнюю строчку", чтобы она стала верным утверждением. (Возможно несколько различных, но правильных пониманий).
здесь была написана глупость.
$$f(x) =\begin{cases}x^2sin(1/x)+x/2,\text{ если $x\ne0$;} \\ 0,\text{ если $x=0$.}\end{cases}$$
Евгений для Вашей функции получается следующее: $g(x)=\frac{y(x)}{x}=x^{2k}$, а $y'(x)=(2k+1)\cdot x^{2k}$, получим неравенство $g(x)>y'(x)$ при $x>0$.
Магия:)
Я подумаю насчет "чётко, в каком смысле можно понимать упомянутую "последнюю строчку", чтобы она стала верным утверждением", но судя по Вашему комментарию анализ выходит за рамки школьного курса математики!
Трудно сказать что-то определенное нужен доп. анализ.
1) если производная положительна, то функция возрастает.
2) если функция возрастает, то ее производная неотрицательна (но где-то может равняться нулю)
"1) если производная положительна,то функция возрастает" - абсолютно согласен, но со вторым пунктом не очень (возможно, это у меня уже глюк).
Если функция возрастает, то производная не обязательно неотрицательна (!) на всем промежутке (!), например, сумма многих-многих модулей (мой пример из комментария выше): такая функция действительно возрастает на некотром интервале, но производная неотрицательна не на всем интервал, где-то она и не существует (точки перелома)
Поправьте, пожалуйста, если я ошибаюсь:)
UPDATE комментарий писал с телефона, не помню, как в $ \TeX $ модуль; ну в общем в этом комментарии функция имеет вид: $y(x)=\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |+...+\left | x-100500 \right |$
Евгений, полагаю, Ваш комментарий отражает то, что я и хотел объяснить в своем:)
Здесь я доказывал, поэтому сразу воспользуюсь.
Если $E_{AC}^{Q}>0 \Longrightarrow $ $AC(Q)$ возрастает, если $E_{AC}^{Q}<0 \Longrightarrow $ убывает (это тоже где-то доказывалось), имеем:
$E_{AC}^{Q}=E_{TC}^{Q}-E_{Q}^{Q}=\frac{TC'(Q)\cdot Q}{TC}-\frac{Q'\cdot Q}{Q}=\frac{MC}{AC}-1$, если $E_{AC}^{Q}>0$ ($AC$ возрастает), то $\frac{MC}{AC}-1>0 \Longrightarrow MC>AC$, ну и если $E_{AC}^{Q}<0$ ( то есть $AC$ убывает), то $\frac{MC}{AC}-1<0 \Longrightarrow MC
Теперь узнал, что может быть и такое:)
Поясните пожалуйста.
Я правильно понял, что если функция строго возрастает на неком промежутке, то производная этой функции может равняться нулю?Как это?Тогда функция не будет строго возрастать.