Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

27.12.2011, 22:25 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 22:17


(0)
Пусть спрос задаётся линейной функцией, то есть имеет вид $Q_{d} (P)=a-bP$, где $a$ и $b$ — некоторые заданные положительные числа*. Постройте график эластичности спроса по цене в зависимости от цены. (Если сложно, сначала можете построить для частного случая: например, $a=10$, $b=2$.)


*
Строго говоря, здесь подразумевается функция спроса $Q_{d} (P)=\left\{\begin{array}{l} {a-bP,{\rm \; если\; }P\le a/b} \\ {0,{\rm \; если\; }P>a/b} \end{array}\right. $ . Иными словами, функция спроса равна $a-bP$ , когда $a-bP\ge 0$ , и равна нулю в противном случае. Это всегда подразумевается, когда пишут просто $Q_{d} (P)=a-bP$ (поскольку величина спроса не может быть отрицательной, то такая «расшифровка» выражения $Q_{d} (P)=a-bP$ кажется довольно естественной). Ещё одна эквивалентная, но строгая запись: $Q_{d} (P)=\max \{ a-bP;0\} $ . Аналогичное замечание можно сделать о функции предложения в следующей задаче.

Комментарии

Итак, просто накидаю свои мысли, буду надеяться, что они правильные:
$E_{P}^{d}=Q'(P)\frac{P}{Q}$, для линейной функции она будет иметь следующий вид: $E_{P}^{d}=\frac{-bP}{a-bP}$, ну и пусть это будет некоторая $f(P)$, если присмотреться, то эта функция дробно-линейная, следовательно, её график гипербола (при отсутствии ограничений на аргумент), а так как есть ограничения на $P$ ($0\leq P<\frac{a}{b}$, последний знак "меньше", как я думаю, но тут у меня сомнения, я считаю, что здесь строго меньше для того, чтоб знаменатель был определен и в ноль не обращался), то это будет кусок нашей гиперболы $f(P)=1-\frac{a}{a-bP}$.
Потом я чуть-чуть поанализировал:
$f'(P)=-\frac{a}{(bP-a)^2}<0 \Rightarrow f(P)$ - убывающая
$\mathop{\lim }\limits_{P \to \frac{a}{b}-0 } \left(f(P) \right) =-\infty$
$\mathop{\lim }\limits_{P \to 0^{+} } \left(f(P) \right)=0$
Этому, как и ожидалось, соответсвует только одна часть нашей гиперболы (Заметьте не ветвь, а только кусочек этой ветви!)
Итак, получим, что графиком эластичности спроса по цене в зависимости от цены будет часть гиперболы (для дробно-линейной функции) при $0\leq P<\frac{a}{b}$
Вот так она будет выглядеть для $a=10$, $b=2$ : http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-10%2F%2810-2p%29%29+for+p%3D0+to+5
Аккуратнее дифференцируйте сложную функцию.

Ещё можете попробовать построить график эластичности как последовательное применение преобразований графика функции, начиная с графика функции f(p)=1/p. (Прибавление константы к функции/к аргументу, домножение функции/аргумента на константу.)

Ну в курсе школьной математики именно за счет последовательных преобразований и получают сложную гиперболу:).
Завтра поподробнее распишу получение графика посредством простых преобразований (смещений и растяжений/сжатий)
Построим график эластичности спроса по цене в зависимости от цены за счет последовательных преобразований, заметим что наша $f(P)=1+\frac{\frac{a}{b}}{P-\frac{a}{b}}$:
Рассмотрим функцию $f_0(P)=\frac{1}{P}$, графиком является гипербола, ветви расположены в 1-ой и 3-ей четвертях, график нашей функции $f(P)=1+\frac{\frac{a}{b}}{P-\frac{a}{b}}$ мы получим из $f_0(P)=\frac{1}{P}$ смещением на $\frac{a}{b}$ единиц вдоль оси цен вправо, смещением на $1$ единичный отрезок вверх и растяжением вдоль оси ординат в $\frac{a}{b}$ раз, то есть наш график - гипербола с ассимптотами $E_P^d=1$ , $P=\frac{a}{b}$ и растянутый в $\frac{a}{b}$ раз.
Смещение на 1 вверх и растяжение в $a\over b$ нужно переставить местами, иначе нужно было бы единицу тоже умножить на $a\over b$.
Вы имеете в виду описание построения??
Ага
Я строила через любимый геометрический смысл через несколько точек
Получилась такая картинка:
IMAG0309_0.jpg
Если смысл именно в том, чтобы ее построить, то выглядеть она будет примерно так.
Единственное что конфигурация у меня не математическая, т.е. по горизонтальной оси функция, а по вертикальной аргумент

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки