Задача
В подборках
Эластичность
В олимпиадах
Эластичность
Темы
Сложность
(1 оценка)
Автор
27.12.2011, 23:16 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29
29.12.2011, 13:29
Найдите все функции $Q(P)$, эластичность которых постоянна.
Комментарии
Уравнение $Q'\cdot \frac{P}{Q}=n$ - дифференциальное уравнение первого порядка, следовательно, решение содержит единственную константу.
$$Q'\cdot \frac{P}{Q}=n\Rightarrow Q'=\frac{nQ}{P}\Rightarrow \frac{dQ}{dP}=\frac{nQ}{P}\Rightarrow \frac{dQ}{Q}=n\frac{dP}{P}\Rightarrow \int \frac{dQ}{Q}=\int n \frac{dP}{P}\Rightarrow \ln |Q|=n\ln |P|+\ln |c|, $$
так как $P>0$ и $Q>0$, то $\ln|Q|=\ln Q, \ln|P|=\ln P$, тогда $\ln Q=\ln (cP^n) \Rightarrow Q(P)=cP^n$ - единственная функция $Q(P)$, обладающая таким свойством.