Глава 3. Про размерности и проценты

Григорий Хацевич, 30.12.2009 в 14:53.

Размерности величин

Переменная может иметь размерность: тогда эта переменная представляет из себя произведение числа и размерности, которая сама не является числом. Например, $TR=1000\ руб$ . Удобно воспринимать это как произведение: $1\ руб= 1\cdot руб = руб$ . Если это выручка, полученная от пяти ящиков "Эджворта" (такое пиво), то цена пива $P=\frac{1000\ руб}{5\ ящ}=200\frac{руб}{ящ}$ .

Удобство в том, что можно переводить одни единицы измерения в другие, при этом сохраняя сам объект (в данном случае цену пива) неизменным:
$P=200\frac{руб}{ящ}= 200\frac{руб}{20\ бут}=10\frac{руб}{бут}$ – это ровно та же цена пива, поэтому смело ставим знак равенства.

Такой подход удобен в быту, когда мы ограничиваемся четырьмя арифметическими операциями. Если же мы хотим моделировать взаимосвязи между экономическими переменными какими-то сложными зависимостями, то тут с размерностями получается куча неудобств: придётся писать что-то вроде $Q(P)= ящ\cdot\sin (P\cdot \frac{ящ}{руб})-P\cdot\frac{ящ^2}{руб}+10\ ящ$ . В эту формулу можно смело подставлять хоть $200\frac{руб}{ящ}$ , хоть $10\frac{руб}{бут}$ , и на ответ это не повлияет. Но плата за это удобство слишком высока. Вместо этого пишут так:
$Q(P)=\sin (P)-P+10$ ,
а где-нибудь рядом добавляют, что цена измеряется в рублях за ящик, а количество – в ящиках. То есть, строго говоря, теперь P – это уже не цена, а то, что получается, если записать цену в рублях за ящик, а потом стереть единицу измерения. Теперь надо быть начеку: прежде чем подставлять число в формулу, нужно убедиться, что это число ящиков, а не число бутылок. Зато не надо таскать за собой ворох единиц измерения в формулах.

В последней формуле P и Q теперь формально безразмерные величины, хотя мы и помним, что за ними стоит.

Абсолютные и относительные изменения

Пусть некоторая переменная $x$ меняется со временем. Зафиксируем два момента времени и назовём их 0 и 1. Обозначим $x_0$ – первоначальное значение нашей переменной, $x_1$ – новое значение. Например, x может быть ценой на хлеб, момент 0 – началом года, а момент 1 – концом года.

Абсолютное изменение (абсолютный прирост) переменной – это разность между новым и старым значением:

$\Delta x=x_1-x_0$

$\Delta \text{что-то} = \text{новое значение этого чего-то} - \text{старое значение этого чего-то}$

Абсолютное изменение измеряется в тех же единицах, что и сама переменная:
3 руб/шт – 2 руб/шт = 1 руб/шт

Абсолютные изменения часто малоинформативны. Представьте, что ваши доходы выросли на 1 млн рублей в год. Это может сильно изменить ваш образ жизни. А теперь представьте, что на тот же 1 млн рублей в год выросли доходы государственного бюджета. Много ли это? В соответствующей таблице Федеральной службы государственной статистики изменение доходов в 1 млн рублей даже не отразится, поскольку показатели там публикуются с точностью до сотен миллионов рублей. Видимо, потому что изменение в 1 млн рублей для госбюджета не слишком существенно.

Как говорится, всё относительно: один волос на голове – мало, один волос в супе – много. Чтобы оценить, насколько существенно изменение некоторой переменной, нужно сравнить его с какой-нибудь величиной той же размерности и понять, во сколько раз оно больше или меньше. Первое, что приходит в голову – сравнить изменение переменной с её первоначальным значением. Так рождается понятие относительного изменения.

$\text{относительное изменение}=\frac{\text{абсолютное изменение}}{\text{первоначальное значение}}$

$\Delta_\%x=\frac{\Delta x}{x_0}=\frac{x_1-x_0}{x_0}=\frac{x_1}{x_0}-1$

Я не знаю общепринятого обозначения для относительного изменения величины x, поэтому придумал своё: $\Delta_\%x$ .

Замечу, что не для всех переменных имеет смысл считать относительное изменение. Если переменная – это количество каких-нибудь объектов, то, как правило, всё OK: если удвоилось количество денег в вашем кошельке, вы можете купить в два раза больше товаров (если цены не поменялись); в поход собралось в два раза больше людей – нужно запастись в два раза большим количеством спальных мешков, и т. п. А вот если вы узнаёте, что сегодня температура воздуха в два раза выше, чем вчера, то сам по себе этот факт мало о чём говорит. Если сейчас лето, то этот факт будет означать, что наступила жара, а если температура была чуть-чуть выше нуля, то вы можете не ощутить и стократное её увеличение. Если же вы приехали из США со своим термометром, то он в той же ситуации покажет увеличение температуры в гораздо более скромное число раз. Всё дело в условности температурных шкал: они просто дают тем большее значение, чем теплее, но начало отсчёта и единица измерения задаются достаточно произвольно.

Проценты

Относительные изменения многих переменных за типично рассматриваемые промежутки времени часто составляют несколько десятых или несколько сотых. К примеру, относительное изменение доходов госбюджета за 2008 год равно 0,20, а если с поправкой на инфляцию, то 0,06. В связи с этим (для удобства) для относительных изменений почти всегда используют особую "единицу измерения" – процент. Процент (от латинского pro centum – по отношению к ста) – это просто число $\frac{1}{100}$ .
$100\%=100\cdot \%=100\cdot \frac{1}{100}=1$
0,20=20%
0,06=6%

Выражение "6% от чего-то" означает "6% $\cdot$ это что-то". Если относительное изменение переменной x равно 6%, то это значит, что она выросла на 6% от своего первоначального значения:
$x_1=x_0+x_0\cdot 6\%=x_0(1+6\%)=x_0(1+0,06)=1,06x_0$
Слова "от своего первоначального значения", в основном, всегда опускают для краткости, и говорят просто: "x вырос на 6%".

Замечу, что относительное изменение, формально говоря, безразмерная величина (даже если оно представлено в форме $x\cdot \%$ ), потому что оно равно некоторому числу. А вот, например, 5 кг не является безразмерной величиной, потому что 5 кг не равно никакому числу.

В процентах выражают не только относительное изменение, но и многие другие безразмерные величины. Как правило, эти величины меньше единицы, то есть меньше 100%. Приведу несколько примеров.
1) Доля, т. е. отношение части к целому. Например, уровень безработицы – отношение количества безработных к численности рабочей силы: этот показатель принципиально не больше единицы, да к тому же, как правило, не превышает 0,10, поэтому его удобно выражать в процентах.
Другой пример – ставка подоходного налога, т. е. доля той части заработанного дохода, которую вы отдаёте государству. Эта ставка тоже не бывает больше 100%, т. к. никто не станет работать, если придётся отдавать больше, чем он заработал.
2) Годовой темп инфляции (относительное изменение уровня цен за год). Он в приличных странах тоже меньше 100%, хотя теоретически он может быть сколь угодно большим.
3) Номинальная ставка процента по кредиту. Если годовая ставка равна i, то, взяв в долг сумму X, через год нужно будет вернуть $X+X\cdot i$ . По каким-то неведомым мне причинам годовые ставки почти всегда меньше 100% (по крайней мере, в отсутствие высокой инфляции).
Кстати, словом "проценты" традиционно называют сумму денег, уплачиваемую за пользование кредитом; в нашем примере – величину $X\cdot i$ .

Когда люди описывают изменение какой-то безразмерной величины вроде перечисленных выше, в большинстве случаев они вычисляют не относительные, а абсолютные изменения. Скажем, если уровень безработицы вырос с 5% до 6%, то удобнее говорить об абсолютном изменении в 1% ( $6\%-5\%=1\%$ ), чем об относительном изменении в 20% ( $\frac{6\%-5\%}{5\%}=20\%$ ). При этом, чтобы не возникало путаницы в выражении "x вырос на ...", говорят "уровень безработицы вырос на 1 процентный пункт" (сокращённо "п. п."). Ведь если сказать "уровень безработицы вырос на 1%", то можно подумать, что имеется в виду "на 1% от своего первоначального значения" (как это обычно бывает, когда говорят об изменении размерных величин), и новый уровень безработицы, таким образом, составляет $5\%\cdot(1+1\%)=5,05%$ .

Все эти ухищрения нужны для того, чтобы люди поняли друг друга правильно, когда они выражают свои мысли словами. Когда же мы пишем формулами, проблем не возникает; есть всего два варианта: $x_1=x_0+6\%$ и $x_1=x_0\cdot 1,06$ , и мы легко можем выбрать подходящий.

Упражнение 1. Цена градусника меняется каждый год: за каждый чётный год она растёт на 10%, а за каждый нечётный – падает на 10%. Сейчас градусник стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить через 200 лет, если ближайший год – чётный? А если нечётный?

Я много раз встречал людей, которые считают, что нельзя писать 0,06=6%, а надо писать что-то вроде: $\frac{x_1-x_0}{x_0}=0,06,\text{ то есть x вырос на 6\%}$ . Многие пишут, что относительное изменение равно $\frac{x_1-x_0}{x_0}\cdot 100\%$ , а некоторые даже используют разные термины в зависимости от того, умножили они на 100% или нет: что-то в духе "темп роста = коэффициент роста $\cdot$ 100%".
К сожалению, я так и не смог понять их аргументацию. Буду рад, если кто-нибудь мне объяснит.

Несколько слов о терминологии

Относительное изменение по-другому называют процентным изменением, а ещё темпом (при)роста. В русских учебниках различают темп прироста (относительное изменение) и темп роста (темп прироста плюс 100%, ну то есть плюс единица). Спрашивается, зачем нужно два термина, если можно просто прибавить единицу? Думаю, самое разумное объяснение заключается в том, что так удобно пудрить мозги: скажем, если прибыль упала на 20%, то можно гордо заявить, что "темп роста прибыли равен 80%".

В англоговорящем мире темп прироста называется "growth rate", что часто переводят на русский как "темп роста", так что будьте начеку.

В большинстве случаев, как его ни назови, имеется в виду именно относительное изменение, а не оно плюс единица.
Кстати, если кто не заметил: "оно плюс единица" – это просто отношение нового значения к старому.

Упражнение 2. Цена уменьшилась на 10%, а выручка увеличилась на 20%. На сколько процентов изменился объём продаж?

Версия для печати

Сурен Аванян, 30.12.2009 в 15:45. (ссылка)

Может назвать главу так : "Будьте на чеку" . ))

↑

Григорий Хацевич, 30.12.2009 в 17:52. (ссылка)

Была б она задачей, так бы и назвал! Но тут название должно быть таким, чтобы по названию было понятно содержание. Хотя бы, чтобы человек, который когда-то прочитал какое-то место в книге, но забыл, в какой оно главе, мог, взглянув на содержание, сразу сказать: "Это должно быть в этой главе".

↑

Сурен Аванян, 30.12.2009 в 18:29. (ссылка)

Тогда может : "Размерности и проценты" Впринципе раздел Абсолютное и относительное изменение можно было внести в раздел проценты ( ну просто красиво перейти к изменениям).

Дмитрий Сорокин, 03.1.2010 в 01:02. (ссылка)

К твоему вопросу: я думаю, что равенство 1%=0.01 - это не общеизвестный факт. Даже если так оно изначально и задумывалось, то со временем это было забыто. Просто ты сам до этого дошел. Но, тем не менее, не все, что так хорошо клеится, всегда можно считать правильным, как мне кажется. Если рассуждать, что 100%=1 (и использовать материал из параграфа про размерности), то я могу сказать, что 2 литра =2*литры=200%*литр=200%литров, а это полный бред (ну или выглядит как полный бред, хотя и тут можно уследить логику).

Короче говоря, я колню вот к чему: люди не определили операцию уможения числа на слово или символ, поэтому можно лишь на словах использовать равенства типа 2литра=2*литр и поэтому многие считают, что 100% не равно 1.

↑

Валерий, 04.1.2010 в 02:03. (ссылка)

Мое мнение что надо установить что именно эти проценты.Процент-это сотая доля от какого-то целого...то-есть равенство 1%=0.01 в данном случае не является инвариантным,а определено для одного целого.правильнее как по мне написать 1% от х= 0.01*х, где х-это то что-то что мы берем за целое.согласитесь, это не одно и то же. И сразу же пример приобретает логическое очертание 2 литра= 200% от 1 литра. 200%=200*1%=200*0.01=2.из чего мы и получаем тождество. Неоспоримое, как по мне.

↑

Дмитрий Сорокин, 04.1.2010 в 12:32. (ссылка)

Я сам так же и считал всю жизнь. :-) Кстати, с возвращением, Валерий! Приятно видеть "старую гвардию" :-)

Григорий Хацевич, 04.1.2010 в 13:07. (ссылка)

Все соглашаются с тем, что если в кошельке было 100 рублей, а стало 105 рублей, то это значит, что сумма денег в кошельке выросла на 5%. Вопрос лишь в том, как мы будем это записывать, когда в задаче просят найти процентное изменение. Как записывать – вопрос договорённости. Разумно выбрать самую удобную систему, то есть чтобы записи были короткими, понятными и не вызывали неоднозначного толкования. Я выше изложил систему, основанную на двух принципах:
1) %=0,01
2) 1литр=1 $\cdot$ литр
При этом запись приобретает такой вид: процентное изменение = $\frac{105руб-100руб}{100руб}=5\%$ .

Если существует более удобная система, пожалуйста, сформулируйте её правила.

По поводу второго принципа. Дима, чем тебе не нравятся "равенства типа 2литра=2*литр"? По-моему, это вполне разумно: умножить что-то на 2 значит сложить два одинаковых слагаемых в виде этого чего-то; 2*литр=литр+литр; это ли не есть 2 литра?

2 литра=200%литров, всё верно. Что же тут бредового? Это просто громоздкая, неудобная запись; удобнее писать в виде "2 литра". Можно привести другой пример: 2+2=4, но помимо этого $2+2=\frac{\sqrt{25}-365^0}{(1+1)^2-3}$ . Это не бред, это просто громоздкая, неудобная запись числа 4.

Кстати, с чего ты взял, что "люди не определили операцию умножения числа на слово или символ"? Наука алгебра как раз изучает такого рода операции с объектами любой природы. В нашем примере с литрами речь идёт о векторном пространстве.

↑

Дмитрий Сорокин, 04.1.2010 в 16:05. (ссылка)

То есть ты определяешь линейное пространство, объектами на котором являются слова? =) Я просто не очень понимаю. А что тогда будет на нем нулевым элементом? Буква "О"? =)
Я согласен, что эта система самая удобная, так как на черновиках я всегда использую равенство 0.1=20%. Я просто пытался объяснить, чем это не устраивает других людей (о которых ты спрашивал). Твой контраргумент про запись числа 4 я принял, но, тем не менее, считаю запись 200%литров "надписью" =).

↑

Григорий Хацевич, 04.1.2010 в 16:37. (ссылка)

объекты - литры. нулевой элемент - ноль литров (он же просто ноль).
с помощью равенства, которое ты "всегда используешь на черновиках" можно доказать, что 2*2=5

↑

Дмитрий Сорокин, 04.1.2010 в 23:27. (ссылка)

Гриш, не придирайся. =) Это была четвероянварская шутка. =)

Валерий, 04.1.2010 в 16:49. (ссылка)

Спасибо)))Но вернемся к нашим процентам.Нулевым элементом буква о явно не будет,а вот нижнее подчеркивание-очень даже может.например мама и мама_ всегда будет растолковано одинаково.Операцией плюс будет пробел. А вот то что это не будет линейным пространством показывает невыполнение аксиомы коммутативности.
друг,а не враг
и
враг,а не друг.-согласитесь разные вещи.Хотя можно попробовать задать пространство без противоречий и сравнений.Но это уже лишнее как по мне.
Если считать что литр=1*литр,тогда 2 литра=200%*1 литр,тогда становиться все более очевидным и понятным как по мне.и надо бы это указывать.но это уже личное субъективное мнение.Так что не судите строго))

Иван Лазарев, 04.1.2010 в 22:07. (ссылка)

Мне тоже кажется неудачным определение процента, которое использует Гриша. Если мы им воспользуемся, то придем к следующей неудовлетворительной интерпретации:
"объем увеличился на 5 литров" = "объем + 5 литров"
"объем увеличился на 5%" = "объем + 5%" = "объем + 0.05"

На мой взгляд, нельзя говорить об абстрактных процентах - явно или неявно говорящий должен указать о том, что является базой для процента, т.е. от чего именно эти проценты считаются. Лучшим, как мне кажется, является следующее определение: "X% от Y" = "(X/100)Y", где Y может быть указано явно или подразумеваться неявно. Если следовать такому определению, то процент - уже не безразмерная величина, поскольку явно или неявно должно быть указано, от какой величины берется этот процент.

↑

Тимур Аббясов, 06.1.2010 в 00:57. (ссылка)

Забавно, но мой весьма "неглупый" калькулятор относится к понятию процента вполне однозначно, т.е. после ввода $10 + 5\%$ и нажатия клавиши $=$ в левом углу поблескиевает своим великолепием $10.05$
Видимо программисты, создавшие его, не до конца оценивают масштаб своих возможных заблуждений)

↑

Григорий Хацевич, 06.1.2010 в 10:56. (ссылка)

Почему же заблуждений? Твой калькулятор со мной солидарен. Хочешь увеличить десятку на 5% - пиши 10*(1+5%)=
Хотя, конечно, проще написать *1,05. Я сам никогда не пользовался кнопкой %, и вообще не понимаю, зачем она нужна на калькуляторах.

↑

Тимур Аббясов, 06.1.2010 в 22:32. (ссылка)

Я поэтому и сказал "возможных заблуждений", всё-таки идет активное обсуждение того, как стоит понимать проценты.

↑

Григорий Хацевич, 07.1.2010 в 10:18. (ссылка)

Григорий Хацевич, 05.1.2010 в 13:27. (ссылка)

У меня по этому поводу был абзац:

Запись "6%" на два символа короче, чем "0,06". Но люди не остановились на этом, и придумали новый термин: "вырасти на столько-то процентов". Если переменная x выросла (увеличилась) на 6 процентов, то это значит вовсе не то, что $x_1=x_0+6\%$ , а вот что: $x_1=x_0\cdot (1+6\%)= x_0\cdot (1+0,06)=1,06x_0$ .
Теперь фраза "x вырос на ..." означает разное в зависимости от того, на что вырос x – на несколько процентов или на несколько рублей. Это плата за удобство, которое заключается в том, что сказать "x вырос на 6%" проще, чем "относительное изменение x равно 6%".

Я переписал это место, да и почти весь раздел "Проценты". Теперь вроде всё более чётко.

Ваня, а в твоём определении, по-моему, единица лишняя.

↑

Иван Лазарев, 06.1.2010 в 03:02. (ссылка)

да, лишняя, спасибо! исправить уже не могу :(

↑

Григорий Хацевич, 06.1.2010 в 10:57. (ссылка)

я исправил

Дмитрий Сорокин, 06.1.2010 в 17:07. (ссылка)

Кстати, а давно убрали возможность редактирования своих сообщений?

↑

Григорий Хацевич, 06.1.2010 в 17:46. (ссылка)

Можно редактировать, пока не ответили. http://iloveeconomics.ru/blogs/id1/226#comment-1894