Ноттингем-1

Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле $H=Y-x^2/2$, где $H$ — счастье человека, $Y$ — его доход (с учетом перераспределительной политики, о политике см. ниже), а $x$ — уровень усилий, который человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается в том, что, приложив уровень усилий $x$, бедный человек зарабатывает $V \times x$ ден. ед., а богатый — $W \times x$ ден. ед., где $W>V$. В каждой группе ровно по $N$ человек. Каждый агент выбирает свой уровень усилий так, чтобы его счастье было максимальным.

Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать у богатых долю $t$ дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни усилий, зная о проводимой Робином политике.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2013

Перераспределение доходов спортивных клубов

Согласно правилам многих спортивных лиг, каждая команда должна перечислять определенную долю своих доходов на специальный счет, средства с которого затем распределяются поровну между всеми командами. Эта мера призвана уменьшать неравенство доходов между командами, что, как предполагается, должно приводить к выравниванию команд по силе и тем самым делать матчи более интересными.
В олимпиадах: 
Московская олимпиада школьников — 2015
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Перераспределение доходов

Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Совокупный доход всех жителей страны равен Y.
В олимпиадах: 
Региональный этап ВОШ — 2015

Распределение бонусов

У компании А есть три сотрудника: Джон, Джордж и Робин. Руководитель компании знает, что Джон работает лучше, чем Джордж. А Джордж работает лучше, чем Робин, но не может оценить это количественно.

Определите значение коэффициента Джини

В некоторой богатой стране есть две равные по численности, но
неравные по доходу группы населения, внутри каждой из которых доходы распределены
равномерно. В ходе последнего глобального кризиса доходы одной из групп сократились
на 19%, а доходы другой – на 64%, однако коэффициент Джини не изменился.
Определите значение этого коэффициента.

Юный экономист в Джинляндии.

Юный экономист очень упорно трудился весь год и наконец дождался заслуженного отпуска. Недолго думая, он решил отправиться в одну очень маленькую страну Джинляндию, население которой составляет всего $100$ человек. Три дня Юный экономист купался в море и загорал на пляже, но скоро это ему надоело, и он решил заняться экономикой.

Немного про Джини

Некое общество состоит из двух социальных групп, внутри каждой из которых доход распределен равномерно. Известно, что среднедушевой доход в первой группе составляет 5 тыс. руб. в месяц, во второй – 25 тыс. руб. в месяц, а во всем обществе среднедушевой доход составляет 20 тыс. руб. в месяц. Определите значение коэффициента Джини для этого общества.

Равновесие коэффициентов Джини

На некотором рынке есть три равные по численности группы потребителей, функции спроса которых одинаковы и задаются уравнением
$$Q_d=\frac{I}{3P},$$
где $I$ — совокупный доход группы, $P$ — рыночная цена. Доходы трех групп равны 10, 20 и 40 и внутри групп они распределены равномерно. Кроме того, на рынке есть две совершенно-конкурентные фирмы, функция предложения каждой из которых линейна и выходит из начала координат. Фирмы не несут постоянных издержек. Фирма, имеющая меньшую долю рынка, в равновесии производит 1 единицу продукции.
В олимпиадах: 
Муниципальный этап ВОШ (Москва) — 2013

Регион-2012: вопрос № 12 (Джини)

В некоторой стране есть две группы населения, в каждой из которых доход распределен равномерно. В ходе последнего глобального кризиса доход более бедной группы снизился на 20%, а доход всей страны – на 25%, причем более богатая группа так и осталась более богатой. Значит:

1) коэффициент Джини увеличился;
2) коэффициент Джини уменьшился;
3) коэффициент Джини не изменился;
4) коэффициент Джини мог как увеличиться, так и уменьшиться;
5) нет верного ответа.

В олимпиадах: 
Региональный этап ВОШ — 2012

Кривая Лоренца на планете Плюк

На планете Плюк каким-то образом сосуществуют две категории населения: господствующее большинство — чатлане и дискриминируемое меньшинство — пацаки. Доход самого бедного чатланина равен доходу самого богатого пацака. Средний доход чатлан в 21 раз превышает средний доход пацаков. Уравнение кривой Лоренца на этой планете имеет вид: $Y=X^{3} $, где $Y$ — доля дохода, $Х$ — доля получателей дохода в общей численности ($0\le Y\le 1,0\le X\le 1$).
Определите, сколько процентов населения планеты составляют чатлане и сколько процентов — пацаки.