Бинты

(а). Восстановим функции спроса. Очевидно, что 10 и 15 – это «критические» точки функций спроса, соответствующие единичной эластичности. Для линейного спроса максимальная цена спроса ровно вдвое больше, чем цена в точке единичной эластичности, и значит, эти максимальные цены спроса равны 20 и 30. При этом нетрудно доказать, что более эластичный спрос имеет более низкую максимальную цену спроса (это понятно и интуитивно), и значит, 20 – максимальная цена спроса на эластичный бинт, 30 – максимальная цена спроса на неэластичный бинт.
Таким образом, $Q_э=b(20-P_э)$ и $Q_н = d(30-Р_н) $. (Переменные с индексом «э» относятся к эластичному бинту, а переменные с индексом «н» — к неэластичному; d и b — некие положительные параметры).
Нам известно, что в оптимуме $P^*_н=P^*_э=P^*$, а также что $E_э = \frac{-P^*}{20-P^*} = 3,5E_н = \frac{-3,5P^*}{30-P^*}$
Из последнего уравнения находим, что $P^*=16$.
Пусть закупочные цены на бинты равны $C_э$ и $C_н$.
Тогда прибыль фирмы, как функция от цен на бинты, равна
$\pi (P^*_э,P^*_н)=b(20-P_э)(P_э-C_э)+d(30-Р_н)(P_н-C_н) \Rightarrow max $
Как видим, эта функция разбивается на два слагаемых, график каждого из которых является параболой с ветвями вниз. Оптимальные для фирмы цены находятся в вершинах этих парабол, то есть ровно посередине между корнями каждой из них:
$P_э^*=\frac{20+C_э}{2}$ и $P_н^*=\frac{30+C_н}{2}$. (Тот же результат можно было получить, приравнивая на каждом из рынков предельный доход к предельным издержкам).
С другой стороны, как мы выяснили, $P^*_н=P^*_э=16$, откуда находим $C_н=2$, $C_э=12$.
Итак, ответ на вопросы пункта (а) таков: $P^*16$, $C_н=2$, $C_э=12$.
(б) Данный пункт можно решить и без расчетов (см. решение п. (в)), однако для полноты картины приведем их.
Мы знаем, что $P_н^*=P^*_э$, и что $TR_э=TR_н$. Отсюда $Q_э=Q_н$.
Значит, (20-16)b=(30-16)d $\rightarrow b=3,5d$.
Первоначальная прибыль фирмы равна
$\pi_0^*=b*4*4+d*14*14-FC=252d-FC$.
Если аптека согласится, то новая (единая) цена бинтов составит 7.
Изначально неочевидно, станет аптеке лучше или хуже, ведь один бинт для нее подешевел, а другой подорожал.
В этих условиях аптеке будет выгодно назначить другие розничные цены на бинты:
$P_э^*=\frac{20+7}{2}=13,5$ и $P_н^*=\frac{30+7}{2}=18,5$.
Новая прибыль фирмы составит
$\pi_1^*=b*6,5^2+d*11,5^2-FC=\frac{7*169+2*529}{8}d-FC$..
Чтобы сравнить эту прибыль с первоначальной, необязательно рассчитывать значение этого выражения, достаточно лишь, например, заметить, что
$\pi_1^*=\frac{7*169+2*529}{8}d-FC > \frac{7*150+2*500}{8}d-FC=\frac{2050}{8}d-FC > \frac{2016}{8}d-FC=252d-FC=\pi_0$.
Значит, новая прибыль строго больше, чем старая, ему выгодно согласиться.

(в) Удивительно, но поставщику информации было достаточно — он совершенно определенно мог сказать, что фирма согласится на его предложение, даже не зная функции спроса и не производя расчетов.
Докажем, что если изначально объемы закупок бинтов равны (как в нашем случае), то фирме выгодно соглашаться на предложение поставщика, независимо от того, каковы функции спроса на бинты.
Заметим, что если в новых условиях фирма выберет «старые» объемы $Q_э=Q_н=q$ (устанавливая «старые» цены), то величина ее переменных издержек останется прежней: $C_нq+C_эq=(C_э+C_н)q$
раньше она была равна $\frac{C_э+C_н}{2}(q+q)=(C_э+C_н)q$
теперь она равна .
Значит, и объем прибыли останется прежним (ведь функции конечного спроса на бинты не изменились). Итак, в новых условиях у фирмы всегда есть вариант действия (выбрать $Q_э=Q_н=q$), который принесет ей не меньшую прибыль, чем была у нее в старых условиях. А это значит, что и максимальная прибыль, которую фирма может получить в новых условиях, не меньше, чем старая (на самом деле она даже больше, потому что старые объемы в новых условиях не оптимальны — ей выгодно сократить закупки подорожавшего бинта и увеличить закупки подешевевшего).
Все эти рассуждения мог проделать поставщик, и потому он знал, что аптека согласится.
Соответственно, пункт (2) можно было решить и без расчетов — просто проделав приведенное выше рассуждение.