Регион-2012: вопрос № 20 (мужчины и женщины)

1) Представим, что спрос на яблоки предъявляют только мужчины. Тогда равновесная цена $p^*$ определится из уравнения $5 - p^* = 4 + 2p^*$, откуда $p^* = 1/3$. Если теперь женщины предъявляют дополнительный спрос, то, очевидно, равновесная цена только увеличится. Следовательно, при любом значении параметра a выполняется соотношение $p^* > 0{,}3$ и утверждение пункта 1) верно.

2) Поскольку утверждение 1) верно, то не существует $a > 0$, при котором $p^* < 0{,}2$. Утверждение 2) неверно.

3) Рассмотрим случай $a < 10$. Тогда общий спрос на яблоки равен
$$ Q^d(p)=\begin{cases} 5+a-3p,\text{ если } p\leqslant a/2;\\ 5-p,\text{ если } a/2< p<5;\\ 0,\text{ если } p\geqslant 5 \end{cases} $$

В случае $p \leqslant a/2$ из равенства спроса и предложения в равновесии следует равенство $5 + a - 3p^* = 4 + 2p^*$, откуда $p^* = (1 + a)/5$. Неравенство $p^* \leqslant a/2$ выполняется при $(1 + a)/5 \leqslant a/2$, то есть при $a \geqslant 2/3$. Следовательно, если $10 > a \geqslant 2/3$, то мужчины и женщины в равновесии потребляют одинаковое количество яблок в том случае, если $5 - (1 + a)/5 = a - 2(1 + a)/5$, или $a = 6{,}5$. Легко подставить это значение в начальные условия и проверить, что в этом случае потребление яблок мужчинами и женщинами в равновесии действительно одинаково. Утверждение 3) верно.

4) В пункте 3) было доказано, что при некоторых ограничениях на параметр a потребление мужчинами яблок в равновесии равно $5 - (1 + a)/5$. Следовательно, утверждение 4) неверно.

5) Пусть $a < 2/3$. Тогда женщины не готовы покупать яблоки по цене $p = 1/3$, которая складывается при наличии спроса только лишь со стороны мужчин. Утверждение 5) верно.