Тарифы с абонентской платой

(а) (6б) Итак, пусть мы говорим минут. Если выбрать тариф II, то ежемесячные расходы составят $T_2(x)=75+1,5x$ . (1 б)
Если выбрать первый тариф, то расходы составят
$$
T_1(x)= \begin{cases}
0, & x<100;\\
3(x-100), & x \ge 100
\end{cases}
$$
. (1б)
При третьем тарифе расходы составят
$$
T_3(x)= \begin{cases}
525, & x<200;\\
525+0,75(x-2)), & x \ge 200
\end{cases}
$$
.(1б)
Второй тариф должен быть выгоднее первого, откуда 75+1,5x<3(x-100) , и значит, x>250 . (1б)
С другой стороны, второй тариф должен быть выгоднее третьего. Поскольку мы уже знаем, что x>250 , то x$\ge$250, и значит, для третьего тарифа можно рассмотреть только этот случай.
75+1,5x<525+0,75(x-200) , откуда x<400 . (1б)
Итак, второй тариф выгоднее других при $x \in (250;400)$ . (1б)

Графическая иллюстрация:

(б) (7б) Если воспользоваться услугами компании Y, то расходы составят $T_Y(x)=A+x. Мы не будем сожалеть о выборе оператора Y, если наши расходы окажутся не больше, чем расходы при подключению к лучшему (при данном x) тарифу оператора X. (1б)
Из решения пункта (а) следует, что при $x \in [300;400]$ лучшим является второй тариф оператора X, а при $x \in [400;500]$ — третий тариф. (1б) Значит, нам достаточно найти, при каких значениях выполнены одновременно два условия:
(1) $A+x \le 75+1.5x$ для всех $x \in [300;400]$ ; (1б)
(2) $A+x \le 525+0,75(x-200)$ для всех $x \in [400;500]$ . (1б)
Преобразуем эти условия:
(1) $A \le 75+0,5x$ при всех $x \in [300;400]$ . Поскольку правая часть этого неравенства возрастает по x, то условие (1) эквивалентно тому, что $A \le 75 +0,5*300=225$ . (1б)
(2) $A \le 375-0,25x$ при всех $x \in [400;500]$ . Поскольку правая часть этого неравенства убывает по X, то условие (2) эквивалентно тому, что $A \le 375 -0,25*500=250$. (1б)

Итак, первое условие выполнено при $A \le 225$ , а второе — при $A \le 250$. Значит, оба условия выполнены одновременно при $A \le 225$. (1б)