Три продавца и монопсония

$$Q_s(P)= \begin{cases}P^2-17P+70, \text{если $P\ge 20$;}\\P^2-18P+90, \text{если $10\le P< 20$;}\\2P-10, \text{если $5\le P< 10$;}\\0, \text{если $P<5$.}\end{cases}$$

Если покупатель назначает цену $P$, то он может купить не больше $100/P$ единиц товара. Поскольку функция предложения везде возрастает, то для максимизации количества купленной продукции покупателю нужно назначить такую цену, при которой его затраты (равные цене, умноженной на количество, которое готовы продать производители) в точности равны 100.

Составим три уравнения для трех ненулевых участков функции предложения.
$$P^2-17P+70 = 100/P \quad (P\ge 20)$$
Решить это уравнение в явном виде непросто и корни получаются «плохие», но это и не нужно. Заметим, что при $P=20$ левая часть (130) больше правой (5). Чтобы оставаться на этом участке функции предложения ($P\ge 20$), мы можем только увеличивать цену, но при этом левая часть будет расти (это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $P=8{,}5$), а правая — уменьшаться, то есть значения двух выражений будут еще отдаляться друг от друга и никогда не станут равны.

$$P^2-18P+90 = 100/P \quad (10\le P< 20)$$
Корень $P=10$, являющийся одним из пограничных, подходит. В левой части уравнения парабола с ветвями вверх (вершина при $P=9$), в правой — ветвь гиперболы. Весь допустимый интервал $10\le P < 20$ лежит на возрастающей ветви параболы, а значит, там может быть не больше одного пересечения, и мы нашли единственное. Итак, ($P=10; Q=10$) — точка на кривой предложения, при которой расходы покупателя равны 100.

$$P^2-18P+90 = 100/P \quad (5\le P< 10)$$
В принципе, третье уравнение можно и не решать: если там и будут корни, то объем продаж уж точно не превысит 10. Если решить, то можно убедиться, что единственный положительный корень и есть при $P=10$.