Где построить стадион?

Рассмотрим сначала точки $x$, такие, что $0 \le x < 0{,}75$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $0{,}75-x$. Следовательно, для 9 миллионов человек, живущих в городах Г и Д, путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75. В сумме эта разность расстояний составляет $9\,000\,000(0{,}75-x)$. В то же время для 6 миллионов человек, живущих в городах А, Б и В, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 в сумме на $6000000(0{,}75-x)$. Таким образом, $S(x) - S(0{,}75) = 3\,000\,000(0{,}75-x) > 0$. Заметим, что верно и более сильное утверждение: чем левее точка $x$ от точки 0,75, тем дольше до нее добираться в сумме всем жителям страны. Итак, в точках с координатой $x<0{,}75$ строить стадион смысла нет.

Пусть теперь $0{,}75 < x \le 1$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $x - 0{,}75$. Теперь в сумме для 10 миллионов человек (жителей городов А, Б, В, Г) путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75, на $10\,000\,000(x - 0,75)$, а для 5 миллионов человек, живущих в городе Д, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 на $5\,000\,000(x - 0,75)$. Отсюда следует, что $S(x) > S(0{,}75)$.

Таким образом, мы доказали, что функция $S(x)$ достигает своего минимума в точке 0,75, поэтому стадион следует построить в точке 0,75.