Подберите такие строго убывающую функцию спроса и строго возрастающую функцию предложения, чтобы кривая Лаффера имела:
а) ровно две точки глобального максимума;
б) бесконечно много точек глобального максимума.
Кривая Лаффера - зависимость налоговых сборов от ставки налога.

Комментарии

"Известно, что Кривая Лаффера имеет максимум, и только один" (c) White Brother в соседней теме
чему верить?
А вы попробуйте доказать либо то, либо другое, и если ваше доказательство будет правильным, верьте ему:)
Я добавил эту задачу как раз в ответ на цитируемое вами высказывание White_brother'а.
Пусть Q_d=a-b*P ; Q_s=c+d*P
Q_s_t=c+d(P-t)
P_2-P_1=t ( где P_2 и P_1 цены покупателя и продавца соответственно).
Q_s_t=Q_d
a-b*P_t=c+d*P_t-d*t => P_t(b+d)=a+d*t-c => P_t=(a+d*t-c)/(b+d)
Q_t=a-b*P_t=a-b*(a+d*t-c)/(b+d)
T=Q_t*t=t*(ab+ad-ab-bdt+cb)/(b+d)=t*(ad-bdt+bc)/(b+d)
Функция T(t) квадратична следовательно она имеет только один максимум.
Значит, эти функции не линейны. Мало что даёт, конечно. . .
Бесконечно много не может быть, потому что функция кривой Лаффера определена от 0 до t0 при котором налоговые поступления нулевые. Значит на отрезке не может быть бесконечно много экстремумов.
Зачем ограничивать какими-то t0? Функция налоговых поступлений определена при любых неотрицательных ставках налога. А кроме того, и на отрезке может быть бесконечно много точек экстремума. Например, у функции sin(1/x) на отрезке [-6;2]
Если просто логически рассуждать: ставка может быть настолько высока, что люди просто напросто не будут платить налоги. Так же при высокой ставке налога кривая предложения настолько поднимется вверх, что просто не будет иметь общих точек с кривой спроса.
Ну да, и такая ставка вряд ли будет максимизировать налоговые поступления:)
Ну или при любой ставке налога Т будет равно 0))))
Надо будет подумать, спасибо за интересное задание. =)
ну если кривая предложения проходит выше кривой спроса,то есть нету общих точек,то введение налога ни к чему не приведет,они так и не будут пресекаться,то-есть ответ на второй вопрос....
А это не одна точка будет ли(Q=0)?
почему одна???это будет прямая,совпадающая с осью налогов.
Ответ принимается. Но всё-таки хочется менее тривиальный пример: чтобы спрос и предложение пересекались. То есть чтобы налоговые сборы в точках максимума были ненулевыми.
Да, про что я и писал, Т = 0 при всех ставках налога. А 2 точки глобального максимума - 2 экстремума с равным общим налоговым сбором?
Должно быть, да
раз они глобальные
верно подмечено
Григорий много хочет =) Надо подумать. Я вот заметил, что при кривой спроса A\P кривая Лаффера, кажется, вообще не имеет максимума. Если я не напортачил.
Вроде бы имеет. Даже если задать кривую предложения Q_s=p, то всё равно будет максимум.
White_brother прав; доказать это легко по картинке, заметив, что площадь прямоугольника, построенного на точке кривой спроса Q=A/p и начале координат, не зависит от выбора точки кривой спроса.
хм, интересно, а как найти эластичность выпуска по ставке налога в общем случае?
Запишите уравнение $P_d(Q)-P_s(Q)-t=0$ и, считая Q функцией от t, продифференцируйте его по t (функция слева тождественно равна функции справа, значит производная функции слева тождественно равна производной функции справа). Из формулы производной сложной функции вылезет производная Q по t. После преобразований у меня получилось
$EQ(t)=\frac{P_d-P_s}{{P_d\over{EQ_d(P_d)}}-{{P_s}\over{EQ_s(P_s)}}}$
Зная конкретные функции спроса, из первого уравнения можно выразить $Q(t)$, а тогда уже и $P_d(t)$ и $P_s(t)$. Не знаю правда, что со всем этим дальше делать:)
Мне кажется, что можно доказать, что кривая Лаффера имеет максимум в точке, где E(Q(t))=1 (по аналогии с TR)
для конкретной функции мы сможем найти Q(t), но в общем случае.. 0_о.
А кривая спроса может быть ломаной? Тогда с каждого из двух отрезков можно будет получить по максимуму функции T(t).
Мне нравится ваша идея! Хотелось бы увидеть конкретные функции спроса и предложения. Постарайтесь сделать ваш пример как можно более простым (с красивыми циферками).
Из формулы:
[1] T=t*(ad–bdt+bc)/(b+d) [доказана выше]
(причем |b|>|d|,т.к. в противном случае t имеет положительный коэффициент)
следует:
to=(ad+bc)/2bd, где to-абсцисса точки максимума функции T(t)
и тогда:
[2] T(to)=((ad+bc)^2)/4bd(b+d)
Осталось подобрать две функции индивидуального спроса, чтобы образованные ими отрезки рыночного спроса давали одинаковые максимумы, чего мне пока что сделать не удалось. Может я что-то делаю неверно?
не трудно догадаться, что t0 численно равно середине отрезка, концами которого являются точки пересечения функций спроса и предложения с осью цен
подобрал вроде Ps=5+Q
Кривая рыночного! спроса: P2=15-1.5Q
P1=25-9Q, там получается сверху кусочек P1, до пересечения с P2, потом уже идет P2.
(то есть P1 - одна группа покупателей, а P2 - это первая плюс вторая группы покупателей)
Tmax получается 10, при t2=5 и t1=10
У меня какие - то ужасно корявые числа получаются, причём в 1 случае когда t_1=5 T=13, а во втором когда t_2=10 T=10.
Я косяк?
25-9Q=Q+15;Qe=1;T=10
А в первом случае?
t=5
P=Q+10=40-10,5Q
11,5Q=30
Q=2,608.
P_1=7,608 ; P_2=12,608
T=(P_2-P_1)*Q=5*2,608=13 ?!
Где - то уже близко, но этот пример, по - моему, не подходит.
Все подходит.
P=25-9Q это УЖЕ рыночный спрос, а индивидуальныe соответственно P=10-7,5Q и P=15-1,5Q
gafych молодец! Я переписал ваш пример в решение. Теперь ждём пункт б!
Чистая работа, вроде бы. =)
Да, действительно :)
Кстати 25-9Q=5+Q;Q=2 и Tmax=20
Там будет Q+15. . . Ведь налог 10
Понял, извиняюсь =)
Так Q=2 принадлежит уже участку суммарного спроса. Ну и налог само собой.
Pd=5/Q+2 Ps=2
T=const=5, но какой-то бред с совершенно эластичным предложением...
"Подберите такие строго убывающую функцию спроса и строго возрастающую функцию предложения, чтобы кривая Лаффера имела..."
Б: любые функции
Ps=a-b/Q, Pd=a+c/Q
a,b,c>0
T=с+b
Да, всё верно! Любопытно: вмешательство государства на таком рынке помогает установиться равновесию.
Кто придумает другие интересные примеры - пишите!
Да, иначе там равновесия не случалось бы, Pd и Ps стремятся к a
что такое глобальный максимум и чем он отличается от обычного максимума функции?
если у функции 2 максимума это не значит что они равны то есть не обязательно подбирать фу-ии так что бы максимумы
кривой лаффера были равны
если налоговые сборы все время равны А то это возростающая или убывающая функция? разве у прямой параллельной оси абсцисс есть максимумы или минимумы?
Глобальный максимум - максимум функции на промежутке от минус бескончености до плюс бесконечности,
локальный максимум - на отдельном отрезке этой функции.

Прямая вида y=c имеет бесконечное множество глобальных максимумов, равно как и глобальных минимумов.

>если у функции 2 максимума это не значит что они равны то >есть не обязательно подбирать фу–ии так что бы максимумы
>кривой лаффера были равны

Если один максимум меньше другого - он уже не максимум. Не путайте максимумы с экстремумами.

спасибо а то я действительно их путал
Экстремум - общее название для максимумов и минимумов.
Рассмотрим числовую функцию f(x) числового аргумента x, определенную на множестве M (множество M - какое-то подмножество числовой прямой; например, вся прямая).
Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность точки $x_0$, что в любой точке из этой окрестности значение функции не больше, чем в точке $x_0$. (Окрестность точки $x_0$ радиуса $\varepsilon$ - это множество точек, находящихся от $x_0$ на расстоянии, меньшем $\varepsilon$, т.е. это интервал $(x_0-\varepsilon;x_0+\varepsilon)$.
Из этого определения следует, что для функция f(x)=2 любая точка - точка локального максимума.
Таким образом, она имеет бесконечно много точек локального максимума.
Точка $x_0$ называется точкой глобального максимума, если значение функции в этой точке не меньше, чем в любой другой точке из области определения фукнции f.
Для функция f(x)=2 любая точка - точка глобального максимума.
Максимум функции - значение функции в точке максимума. У функции f(x)=2 только один глобальный максимум - 2.
Для минимумов всё аналогично, только знак неравенства поменять, где надо.
Есть еще понятие строгого (локального или глобального) максимума: когда неравенство строгое, т.е. значение функции в других точках (соответственно, окрестности или всей области определения) строго меньше. Функция f(x)=2 не имеет строгих максимумов.