Задача

В олимпиадах

Сибириада. Шаг в мечту — 2011

Раздел

Баллы

13

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

08.03.2011, 11:57 (Данил Фёдоровых)
07.01.2016, 23:10
Фермерское хозяйство производит творог и, являясь единственным продавцом творога на местном рынке, получает от его продажи максимальную прибыль. Издержки производства задаются функцией $TC=0{,}2Q^2+10Q+300$, дневной спрос на творог — функцией $Q=400-4P$, где $Q$ — количество пачек творога (шт.), $P$ — цена одной пачки (ден. ед.).

а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией $Q_C=120-2P_C$ ($Q_C$ — количество сыворотки, литров, $P_C$ — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?

Комментарии

А) Q=100, PR=4200
в пункте б). я принял как Q(c)=2*Q. нужно составить функцию прибыли: $Pr=TR+TR(c)-TC=100Q-0{,}25Q^2+(60-0{,}5(2Q))*2Q-TC(Q)$
максимизировать по Q. верно?
Чего у вас в 2 раза больше — творога или сыворотки?
невнимательность. больше сыворотки, конечно. сейчас исправлю.
ход мыслей правилен?
в а у меня также
б) Qтв=$\frac{300}{7}$
Qсыв=$\frac{600}{7}$
PR=4500
увеличится на 300
У меня вроде также.Правда Волфрам говорит, что прибыль такая же). Да и у меня "вручную" так получилось?
да точно, я забыл вычесть постоянные издержки

Прибыль не изменится)

Прибыль к сожалению изменится.
Я также ошиблась и на самой этой олимпиаде.

Сами посудите, если прибыль не изменится, то зачем начинать вообще продавать сыворотку? издержек-то мы не имеем. значит продавая сыворотку, получаем деньги из ничего. Прибыль должна измениться! :)

А если так:
Пусть у нас оптимальный выпуск не изменился, а так как нет издержек для производства сыворотки, то нам надо максимизировать выручку от нее: $Q^{*}_{творог}=100$, что дает $Q_{сыворотки}=200$, значит, чтобы максимизировать выручку $Q_{сыворотки}=60,P_{сыворотки}=30, \pi_{new}=4200+30\cdot 60=6000,\Delta \pi=1800 $. Как-то так...
Да, так верно)
Крутяк)
но это ведь получается мы получили методом "тыка". у нас нет доказательств, что это точка - максимум прибыли.
Почему нет? По условию у нас $MC=0, MR=MC$ следовательно $MR=0$ Отсюда найдем $Q=60$ и $P=30, \pi_{mew}=6000$
Не очень понимаю, почему, если максимизировать прибыль по Q творога, почему получается другой ответ?
Всмысле так, как изначально Алексей и Араик делали. Я просто тоже сначала так делал, получил ответы $\frac{300}{7}$ и $\frac{600}{7}$ соответственно и прибыль не изменилась.
Потом отдельно максимизировал выручку и получил изменение +1800.
Нужно брать не $Q_{сыв}=2Q_T$, а $Q_{сыв} \leq 2Q_T$ - отсюда начинается ошибка.
Обосновать это можно довольно легко.
Очевидно, что на рынке сыворотки фермерское хозяйство будет получать прибыль, которая будет равна выручке сыворотки (поскольку издержек на этом рынке нет).
Значит, можно вывести функцию максимальной выручки на рынке сыворотки:
$\pi(q) = q(60-0.5Q), q<60$
$\pi(q) = 30*60 = 1800, q>=60$

$q$ -кол-во литров сыворотки
$Q$ -кол-во пачек творога

Получается, что прибыль на рынке сыворотки будет расти до $Q=q/2=30$, а потом оставаться неизменной. Прибыль на рынке творога растёт до $Q=100$, поэтому общая прибыль тоже будет расти на участке $Q=[0;100]$. На $[0;30]$ и на рынке творога, и на рынке сыворотки, а на участке $[30;100]$ только на рынке творога.

При максимуме на одном рынке, мы получаем максимум на другом рынке, что тут еще доказывать?
на олимпиаде требовали специального объяснения, и кто просто ставил максимум выручки на сыворотку, тому не ставили полный балл...
Хорошо, мы получаем максимум прибыли на первом рынке = $X$ при $Q=100$.Чтобы получить общий максимум прибыли, $П=X+Y$, где $Y$ - прибыль на втором рынке, мы должны, чтобы каждая из переменных взаимозависимых была максимальна.
Максимум X достигается при $Q=100$, при котором нам доступен максимум $Y$ ($maxTR$).
Доспустим, что есть другое оптимальное $Q$ отличное от $Q=100$ при котором общая прибыль больше, тогда при таком $Q$, $Xн$ будет меньше $X$ исходя из условия максимизации прибыли на первом рынке, поэтому и
$Пн=Xн+Y
что такое Хн и Пн?
Пн=любая другая прибль сумарная отличная от П=X+Y
Xн=любая другая прибыль на первом рынке отличная от X
по-моему, ты доказываешь вполне очевидное))
про максимум на первом рынке нет сомнений_))
Читай выше, Яна говорит не пойдет, нужно точное док-во :))))
Вот я и пытаюсь выяснить, что нужно.
Если мы сможем добиться того, что величины $\pi_{tvorog}$ и $\TR_{syvorotka}$ одновременно примут свои максимальные значения, то и величина $\pi_{tvorog}+\TR_{syvorotka}$ будет максимальна (а куда еще больше?).

Свой оптимум $\pi_{tvorog}$ достигает при $Q_{tv}=100$, а $\TR_{syvorotka}$ - при $Q_s=60$.

Но при такой технологии (на 1 творог две сыворотки) мы спокойно можем обеспечить эти количества: после 100 творогов останется целых 200 сывороток, из которых мы просто продадим 60, да и все). Значит, $Q_s=60$ и $Q_{tv}=100$ - истинный оптимум, и никакого дополнительного доказательства не надо.

Интереснее случай, когда при 100 единицах творога у нас не будет всех необходимых 60 единиц сыворотки.
В качестве упражнения решите эту задачу для случая, когда производство 1 единицы творога дает нам не две единицы сыворотки, а лишь пол-единицы.

В таком случае, максимизировать общую прибыль, выраженную либо через Q творога, либо через Q сыворотка?
Похоже на правду)
Если производство 1 единицы творога дает нам не две единицы сыворотки, а лишь пол-единицы, тогда Qs*2=Qt
=>
Подставив это выражение в функцию прибыли, получаем:
(100 - 0,25*2Qs)*2Qs - 0,2*4Qs^2 - 10*2Qs - 300 + (60-0,5Qs)*Qs -> max
Qs=60/1,15
Qt=120/1,15
Если я не ошиблась в расчетах, то новая прибыль приблизительно равна 5960,8695
У меня также вышло.
Да.
Но здесь главное не циферки, а то, что конкретное значение технологической пропорции творога и сыворотки влияет на решение задачи не только количественно, но и качественно.
Ага, выходит, что пусть даже прибыль на рынке творога не максимальна, зато мы смогли найти такой оптимальный объем производства сыворотки и, следовательно, творога, что общая прибыль на обоих рынках максимальна)
Да, мы "пожертвовали" оптимальностью творога, но за счет этого произвели больше сыворотки, что по построению (ведь мы действовали так, чтобы суммарная прибыль была максимальна) более чем окупило неоптимальность на рынке творога.
Вообще думаю у всех пришла в голову идея уложнить эту задачу после решения :)
Да, я собираюсь выложить одно из ее возможных продолжений.
Кстати, вот чем-то похожая, но более сложная задача (в ней на то, чтобы сделать из первого продукта второй, нужно потратить дополнительные деньги, что делает оптимальный выбор менее тривиальным).
Да,я ее решала. Поэтому при решении этой задачи сначала бездумно все выписала, подставила в функцию прибыли и получила, что она не изменится. Да уж, иногда здравый смысл необходим как воздух.