В олимпиадах
Раздел
Баллы
Темы
Сложность
Автор
07.01.2016, 23:10
а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией $Q_C=120-2P_C$ ($Q_C$ — количество сыворотки, литров, $P_C$ — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
Все задачи этой олимпиады
Задача | Баллы |
---|---|
Зарплата и ВВП в Звондурасе | 12 |
Линейные функции и эластичность | 13 |
Мумба-Юмба | 12 |
Творог и сыворотка | 13 |
Фирма и изменение цен | 10 |
Задача | Баллы |
---|---|
Линейные функции и эластичность | 13 |
Мумба-Юмба | 12 |
Творог и сыворотка | 13 |
Фирма и изменение цен | 10 |
Комментарии
максимизировать по Q. верно?
б) Qтв=$\frac{300}{7}$
Qсыв=$\frac{600}{7}$
PR=4500
увеличится на 300
Прибыль не изменится)
Я также ошиблась и на самой этой олимпиаде.
Сами посудите, если прибыль не изменится, то зачем начинать вообще продавать сыворотку? издержек-то мы не имеем. значит продавая сыворотку, получаем деньги из ничего. Прибыль должна измениться! :)
Пусть у нас оптимальный выпуск не изменился, а так как нет издержек для производства сыворотки, то нам надо максимизировать выручку от нее: $Q^{*}_{творог}=100$, что дает $Q_{сыворотки}=200$, значит, чтобы максимизировать выручку $Q_{сыворотки}=60,P_{сыворотки}=30, \pi_{new}=4200+30\cdot 60=6000,\Delta \pi=1800 $. Как-то так...
Всмысле так, как изначально Алексей и Араик делали. Я просто тоже сначала так делал, получил ответы $\frac{300}{7}$ и $\frac{600}{7}$ соответственно и прибыль не изменилась.
Потом отдельно максимизировал выручку и получил изменение +1800.
Очевидно, что на рынке сыворотки фермерское хозяйство будет получать прибыль, которая будет равна выручке сыворотки (поскольку издержек на этом рынке нет).
Значит, можно вывести функцию максимальной выручки на рынке сыворотки:
$\pi(q) = q(60-0.5Q), q<60$
$\pi(q) = 30*60 = 1800, q>=60$
$q$ -кол-во литров сыворотки
$Q$ -кол-во пачек творога
Получается, что прибыль на рынке сыворотки будет расти до $Q=q/2=30$, а потом оставаться неизменной. Прибыль на рынке творога растёт до $Q=100$, поэтому общая прибыль тоже будет расти на участке $Q=[0;100]$. На $[0;30]$ и на рынке творога, и на рынке сыворотки, а на участке $[30;100]$ только на рынке творога.
Максимум X достигается при $Q=100$, при котором нам доступен максимум $Y$ ($maxTR$).
Доспустим, что есть другое оптимальное $Q$ отличное от $Q=100$ при котором общая прибыль больше, тогда при таком $Q$, $Xн$ будет меньше $X$ исходя из условия максимизации прибыли на первом рынке, поэтому и
$Пн=Xн+Y
Xн=любая другая прибыль на первом рынке отличная от X
про максимум на первом рынке нет сомнений_))
Вот я и пытаюсь выяснить, что нужно.
Свой оптимум $\pi_{tvorog}$ достигает при $Q_{tv}=100$, а $\TR_{syvorotka}$ - при $Q_s=60$.
Но при такой технологии (на 1 творог две сыворотки) мы спокойно можем обеспечить эти количества: после 100 творогов останется целых 200 сывороток, из которых мы просто продадим 60, да и все). Значит, $Q_s=60$ и $Q_{tv}=100$ - истинный оптимум, и никакого дополнительного доказательства не надо.
Интереснее случай, когда при 100 единицах творога у нас не будет всех необходимых 60 единиц сыворотки.
В качестве упражнения решите эту задачу для случая, когда производство 1 единицы творога дает нам не две единицы сыворотки, а лишь пол-единицы.
=>
Подставив это выражение в функцию прибыли, получаем:
(100 - 0,25*2Qs)*2Qs - 0,2*4Qs^2 - 10*2Qs - 300 + (60-0,5Qs)*Qs -> max
Qs=60/1,15
Qt=120/1,15
Если я не ошиблась в расчетах, то новая прибыль приблизительно равна 5960,8695
Но здесь главное не циферки, а то, что конкретное значение технологической пропорции творога и сыворотки влияет на решение задачи не только количественно, но и качественно.