1000 спросов

Очевидно, график функции спроса каждого отдельного покупателя будет представлять тобой отрезок прямой. Поскольку индивидуальные графики спроса начинаются при различных максимальных значениях цены, то суммарная (рыночная) функция спроса будет иметь график, представляющий собой ломаную линию. Представим точки перелома этой линии в виде таблицы, формулирующей зависимость между ценой и объемом товара, приобретенного всеми покупателями:

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, можно записать:
$Q(P)=1+2+3+\dots+(1000-P)=\\= {{1 + (1000 - P)} \over 2} \cdot (1000 - P)=0,5(1001-P)(1000-P) $

Разумеется, это уже не график ломаной линии.  Это парабола, которая при целых значениях  Р  и  Q  проходит через точки ломаной линии спроса. Однако, именно при целых значениях данная зависимость нас и интересует. Графически полученный результат можно представить следующим образом:

Запишем выражение для прибыли монополиста при определенном значении Р:
$\pi =TR-TC=P\cdot Q(P)-100,5\cdot Q(P)=\\=(P-100,5) \cdot 0,5(P-1001)(P-1000)$

График этой функции – кубическая парабола, проходящая через точки 100,5; 1000; 1001.

Спрос определен при $Q \le 1000 $. На участке (100,5;1000) эта функция имеет максимум. Найдем P такое, что $\pi(P)=\pi(P-1) $. Если это P целое, то P и P-1 – точки с максимальной прибылью среди всех целых P. Если это P не целое, то максимальную прибыль обеспечит целое число, лежащее между (P-1) и P.

\pi(P)=\pi(P-1) \\ (P-100,5)*0,5(P-1001)(P-1000)=(P-101,5)*0,5(P-1002)(P-1001)\\(P-100,5)(P-1000)=(P-101,5)(P-1002)\\P^2 - 1100,5P + 100500 = P^2 - 1103,5P + 101703\\3P = 1203\\P = 401

Значит, P=401 и P=400 являются решениями задачи.