Рекламные наклейки

2. Подсказка: В случае когда t<20 можно не искать строгое решение и решить задачу без ограничений на дублирование наклеек. Тогда все случаи, включая подходящие под ограничения будут рассмотрены.

Заметим, что при ставке t > 20 покупать наклейки будут только 3 фирмы, а при ставке меньше 20 - все 10 фирм. Найдем максимальное значение прибыли на обоих участках:

(1) При t>20:
Спрос одной фирмы - $r=30- 0.5 t $, значит спрос всех 3-х - $r= 90 - 1.5 t, t=60-\frac{2r}{3}$
На этом участке спрос оказывают только 3 фирмы, значит на каждой бутылке будет не более 3-х наклеек (так как дублировать одинаковые нельзя). По ставке t все фирмы будут предъявлять спрос на одинаковое количество наклеек - значит на каждую бутылку можно будет наклеить 3 разные. Заметим тогда, что r будет кратно 3 (r-целое по условию). Запишем функцию прибыли:
$$ \pi = TR-TC = t*r - (10Q+2r)=(60-\frac{2r}{3})*r-10\frac{r}{3}-2r $$
$$ \pi = \frac{r}{3}(180-2r-16) = \frac{r}{3}(164-2r)$$
Заметим, что это парабола ветвями вниз и максимум в вершине r=41.
41 не кратно трем, поэтому нам подойдут или r=42, или r=39 (так как это ближайшие точки кратные 3-м к вершине). Подставив эти значения в функции прибыли, получим, что при r=42 прибыль больше. Тогда этом случае:
$$ \pi_{max} = 1120$$
$$t^{*}=32$$
(2) При t<20:
Найдем суммарный спрос:
У первой группы - $r= 90 - 1.5 t$, у второй группы - $r=70-3.5t$. Суммарный будет $r=160-5t$, $t=32-\frac{r}{5}$

Прооптимизируем прибыль на этом участке без ограничений (оставим только, что на 1-й бутылке не более 5 наклеек). Понятно, что все случае которые мы тогда рассмотрим будут содержать еще и те, которые подходят под ограничения, то есть мы гарантировано получим наибольшую прибыль на этом участке.

Докажем, что оптимальной будет ситуация, когда на каждой бутылке по 5 наклеек:
Допустим это не так, тогда есть 2 бутылки, на каждой из которых менее 5 наклеек. Обьеденим их. Если суммарно на них больше 5 наклеек (получится 1 бутылка с 5 наклейками и одна с остатком), то издержки не поменялись; если менее 5, то стало на 1 бутылку меньше и наши издержки уменьшились. Тогда это не оптимум и в оптимуме все бутылки будут с пятью наклейками и не более одной с менее, чем 5.

Теперь вычислим прибыль, зная, что на каждой бутылке 5 наклеек:
$$ \pi = TR-TC = t*r-(10Q+2r) = r(32-\frac{r}{5}))-10\frac{r}{5}-2r$$
$$ \pi = \frac{r}{5}(160-r-20)=\frac{r}{5}(140-r)$$
Максимум этой функции при $r=70$, прибыль тогда $\pi_{max} = 980$

Заметим, что в этом случае прибыль меньше, чем в (1), $980<1120$, поэтому оптимумом будет ставка t=32.