В правительстве заметили, что для каждого гражданина страны выполняется такая закономерность: средний доход тех, кто богаче данного гражданина, превышает средний доход тех, кто его беднее, на величину $ay$, где $y$ – средний душевой доход, $a$ – некоторая положительная константа.
(a) Докажите, что коэффициент Джини в этой стране не превышает $1/3$.
(b) Докажите, что в условиях совершенной информации правительство может добиться полного равенства доходов, перераспределив между гражданами страны не более $1/4$ национального дохода посредством налогов и трансфертов.
Математическая справка:
• Неопределённый интеграл от степени: $\int{x^ndx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$.
• Формула Ньютона-Лейбница: если $F'(x)=f(x)$, то $\int_{a}^{b}{f(x)dx=F(b)-F(a)}$.
Задача вошла в Олимпиаду Вечерней школы IES 2020-21.
$\ $
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ