Как финансировать общественные блага?

а) Каждый избиратель выбирает свою ставку $t_{i}$ и максимизирует величину
$$u_{i}(t_{i}) = \theta v(G) + (1 - \theta)v\big(y(1 - t_{i})\big) = \theta \ln(t_{1}y + ... + t_{n}y) + (1 - \theta)\ln\big(y(1 - t_{i})\big) \rightarrow \underset{0 \leq t_{i} \leq 1}{max}$$
Условие первого порядка выглядит следующим образом:
$$u_{i}^{'}(t_{i}) = \theta \frac{1}{t_{1}y + ... + t_{n}y}y + (1 - \theta)\frac{1}{y(1 - t_{i})}(-y) = \frac{\theta}{t_{1} + ... + t_{n}} - \frac{1 - \theta}{1 - t_{i}} = 0$$
Из этого выражения видно, что первая производная убывает по $t_{i}$, т.е. условие второго порядка будет выполнено. Поскольку агенты гомогенны, равновесие будет симметричным:
$$t_{1} = ... = t_{n} = t_{i}^{*}$$
Подставив это в условие оптимума каждого избирателя, получим
$$\frac{\theta}{nt_{i}} - \frac{1 - \theta}{1 - t_{i}} = 0 \qquad \theta(1 - t_{i}) = (1 - \theta)nt_{i} \qquad \theta - \theta t_{i} = nt_{i} - \theta nt_{i} \qquad t_{i}^{*} = \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)}$$
Можно заметить, что, во-первых, ставка возрастает по $\theta$: чем сильнее избиратели ценят общественное благо, тем больше их готовность его финансировать; во-вторых, равновесная ставка убывает по $n$: чем больше агентов, тем сильнее каждый агент будет надеяться на суммарный «вклад» всех остальных, а сам предпочтёт меньше вкладываться в общественные блага (быть «зайцем»).

б) Беневолентный правитель выбирает общую для всех ставку $t$ и максимизирует величину
$$u(t) = nu_{i}(t) = n\Big(\theta \ln(nty) + (1 - \theta) \ln\big(y(1 - t)\big)\Big) \rightarrow \underset{0 \leq t \leq 1}{max}$$
Множитель $n$ при оптимизации можно проигнорировать. Условие первого порядка примет вид
$$u^{'}(t) = \theta \frac{1}{nty}ny + (1 - \theta)\frac{1}{y(1 - t)}(-y) = \frac{\theta}{t} - \frac{1 - \theta}{1 - t} = 0$$
Из этого выражения видно, что первая производная убывает по $t$, т.е. условие второго порядка будет выполнено. Нетрудно убедиться, что в оптимуме $t^{*} = \theta$.
Легко видеть, что для любого $n > 1$
$$t^{*} = \theta > t_{i}^{*} = \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)}$$
Стало быть, равновесие, при котором общественные блага финансируются децентрализованно, уступает в эффективности равновесию, при котором решение принимает центральный планировщик, именно по той причине, что в первом случае происходит недофинансирование общественных благ. Перед нами сюжет, иллюстрирующий проблему безбилетника.

в) Если разворовывается величина $cny$, а налоговые сборы в сумме по-прежнему составляют $tny$, то размер общественных благ будет равен $G = tny - cny = ny(t - c)$. С учетом этого целевая функция правителя обновится:
$$u(t) = nu_{i}(t) = n\Big(\theta \ln\big(ny(t - c)\big) + (1 - \theta) \ln\big(y(1 - t)\big)\Big) \rightarrow \underset{0 \leq t \leq 1}{max}$$
Множитель $n$ при оптимизации можно проигнорировать. Условие первого порядка:
$$u^{'}(t) = \theta \frac{1}{ny(t - c)}ny + (1 - \theta)\frac{1}{y(1 - t)}(-y) = \frac{\theta}{t - c} - \frac{1 - \theta}{1 - t} = 0$$
Из этого выражения видно, что первая производная убывает по $t$, т.е. условие второго порядка будет выполнено. В оптимуме имеем
$$\theta(1 - t) = (1 - \theta)(t - c) \qquad \theta - \theta t = t - c - \theta t + \theta c \qquad t^{**} = \theta + c(1 - \theta)$$
Очевидно, что $t^{**} = \theta + c(1 - \theta) > t^{*} = \theta$: коррупция увеличивает налоговое бремя.

г) При наличии коррупции объём общественных благ составит
$$G(t^{**}) = ny(t^{**} - c) = ny\big(\theta + c(1 - \theta) - c\big) = ny(\theta - \theta c) = ny \theta (1 - c)$$
А располагаемый доход одного агента составит
$$y(1 - t^{**}) = y\big(1 - \theta - c(1 - \theta)\big) = y(1 - \theta)(1 - c)$$
Без централизованного налогообложения общественные блага будут произведены в объёме
$$G(t_{i}^{*}) = nt_{i}^{*}y = n\frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)}y$$
А располагаемый доход одного агента составит
$$y(1 - t_{i}^{*}) = y\Big(1 - \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)}\Big) = y\frac{n(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}$$
Чтобы сохранить власть, следует выбирать объемы коррупции так, чтобы выполнялось условие
$$\theta \ln\big(ny \theta(1 - c)\big) + (1 - \theta)\ln\big(y(1 - \theta)(1 - c)\big) \geq \theta \ln \frac{ny \theta}{\theta + n(1 - \theta)} + (1 - \theta) \ln \frac{ny(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}$$
$$\ln\big(ny \theta(1 - c)\big)^{\theta} + \ln\big(y(1 - \theta)(1 - c)\big)^{1 - \theta} \geq \ln \Big(\frac{ny \theta}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{\theta} + \ln \Big(\frac{ny(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{1 - \theta}$$
$$\ln \Big(\big(ny \theta (1 - c)\big)^{\theta}\big(y(1 - \theta)(1 - c)\big)^{1 - \theta}\Big) \geq \ln \bigg(\Big(\frac{ny \theta}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{\theta}\Big(\frac{ny(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{1 - \theta}\bigg)$$
$$\big(ny \theta (1 - c)\big)^{\theta}\big(y(1 - \theta)(1 - c)\big)^{1 - \theta} \geq \Big(\frac{ny \theta}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{\theta}\Big(\frac{ny(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}\Big)^{1 - \theta}$$
$$n^{\theta}y^{\theta} \theta^{\theta}(1 - c)^{\theta}y^{1 - \theta}(1 - \theta)^{1 - \theta}(1 - c)^{1 - \theta} \geq \frac{n^{\theta}y^{\theta} \theta^{\theta}n^{1 - \theta}y^{1 - \theta}(1 - \theta)^{1 - \theta}}{\big(\theta + n(1 - \theta)\big)^{\theta}\big(\theta + n(1 - \theta)\big)^{1 - \theta}}$$
$$1 - c \geq \frac{n^{1 - \theta}}{\theta + n(1 - \theta)}$$
Таким образом, граничное значение размера коррупции составляет:
$$\overset{\sim}{c} = 1 - \frac{n^{1 - \theta}}{\theta + n(1 - \theta)}$$