Рынок труда

а) Производственная функция у Альфы $\alpha = L_{\alpha}$: прибыль Альфы (1 балл):
$$\pi_{\alpha}(L_{\alpha}) = p_{\alpha}\alpha - wL_{\alpha} = (30 - \alpha)\alpha - wL_{\alpha} = (30 - w)L_{\alpha} - L_{\alpha}^2 \rightarrow \underset{L_{\alpha} \geq 0}{max}$$
Парабола с ветвями вниз (1 балл), вершина в точке $L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w$ (1 балл) $-$ это и есть спрос Альфы на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты.
Производственная функция у Беты $\beta= 2L_{\beta}$: прибыль Беты (1 балл):
$$\pi_{\beta}(L_{\beta}) = p_{\beta}\beta - wL_{\beta} = (40 - \beta)\beta - wL_{\beta} = (40 - 2L_{\beta})2L_{\beta} - wL_{\beta} = (80 - w)L_{\beta} - 4L_{\beta}^2 \rightarrow \underset{L_{\beta} \geq 0}{max} $$
Парабола с ветвями вниз (1 балл), вершина в точке $L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w$ (1 балл) $-$ это и есть спрос Беты на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты.
Значит, суммарный спрос (2 балла) на труд в регионе $X$ составляет
$$L_{d}(w) = \begin{cases} 25 - 0,625w, \ 0 \leq w \leq 30 \\ 10 - 0,125w, \ 30 \leq w \leq 80 \end{cases}$$
Предложение труда абсолютно неэластично и составляет $L_{s} = 15$. Очевидно, что равенство спроса и предложения на рынке труда достигается на первом участке спроса: $25 - 0,625w = 15$, откуда $w = 16$ (1 балл).
Итог 9 баллов.

б) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади трапеции (3 балла), основаниями которой являются старая и новая зарплаты, а высотой $-$ сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов $m$. Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов $0,8m^2$. Исходная зарплата $w_{1} = 16$, как было установлено в пункте а); новую зарплату можно найти, приравняв спрос на труд к новому предложению труда:
$$25 - 0,625w_{2} = 15 + m, \qquad w_{2} = 16 - 1,6m$$ (1 балл)
Таким образом, изменение благосостояния составит (2 балл)
$$\Delta SW = 0,5(w_{1} + w_{2})m - 0,8m^2 = 0,5(16 + 16 - 1,6m)m - 0,8m^2 = \\ =0,5(32m - 1,6m^2) - 0,8m^2 = 16m - 1,6m^2 \rightarrow \underset{m \geq 0}{max}$$
Парабола с ветвями вниз (1 балл), вершина в точке $m^{*} = 5$ (1 балл) $-$ это и есть оптимальное число мигрантов.

Другой способ решения (в лоб):
$w_{2} = 16 - 1,6m$ (1 балл)
В оптимуме:
$L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w_{2} = 7 + 0,8m$, откуда $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*}) = (7 + 0,8m)^2$ (1 балл),
$L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w_{2} = 8 + 0,2m$, откуда $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*}) = 4(8 + 0,2m)^2$ (1 балл),
Доход работников $(15 + m)(16 - 1,6m)$ (1 балл)
Если значения $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*})$, $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*})$ и доход работников найдены неявно и сразу подставлены в функцию общественного благосостояния, баллы ставятся.
Таким образом, общественное благосостояние будет (2 балла)
$SW = (7 + 0,8m)^2 + 4(8 + 0,2m)^2 + (15 + m)(16 - 1,6m) - 0,8m^2 = 545 + 16m - 1,6m^2 \rightarrow \underset{m \geq 0}{max}$
Парабола с ветвями вниз (1 балл), вершина в точке $m^{*} = 5$ (1 балл) $-$ это и есть оптимальное число мигрантов.
Итог 8 баллов.

в) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади прямоугольного треугольника, одним катетом которого являются разница старой и новой зарплаты, а другим $-$ сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов $m$ (3 балла). Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов $\mu m^2$. Как было найдено, $w_{1} = 16$ и $w_{2} = 16 - 1,6m$ тогда $w_{1} - w_{2} = 16 - (16 - 1,6m) = 1,6m.$ Таким образом, изменение благосостояния составит (2 балла)
$$\Delta SW = 0,5(w_{1} - w_{2})m - \mu m^2 = 0,5 \cdot 1,6m \cdot m - \mu m^2 = 0,8m^2 - \mu m^2 = (0,8 - \mu)m^2 \rightarrow \underset{0 \leq m \leq 5}{max}$$
Отсюда видно, что если $\mu < 0,8$, то благосостояние монотонно растет по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 5$ (1 балл), а если $\mu > 0,8$, то благосостояние монотонно убывает по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 0$ (1 балл); в точности при $\mu = 0,8$ оптимальным может быть любое число мигрантов (1 балл).

Другой способ решения (в лоб):
$w_{2} = 16 - 1,6m$ (1 балл)
В оптимуме:
$L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w_{2} = 7 + 0,8m$, откуда $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*}) = (7 + 0,8m)^2$ (1 балл),
$L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w_{2} = 8 + 0,2m$, откуда $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*}) = 4(8 + 0,2m)^2$ (1 балл),
(Если $w_{2}$, $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*})$, $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*})$ найдены в пункте (б) и использовались в (в), баллы ставятся и в пункте (в))
Доход работников $15(16 - 1,6m)$,
Таким образом, общественное благосостояние будет (2 балла)
$SW = (7 + 0,8m)^2 + 4(8 + 0,2m)^2 + 15 \cdot (16 - 1,6m) - \mu m^2 = 545 + (0,8 - \mu)m^2 \rightarrow \underset{0 \leq m \leq 5}{max}$
Отсюда видно, что если $\mu < 0,8$, то благосостояние монотонно растет по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 5$ (1 балл), а если $\mu > 0,8$, то благосостояние монотонно убывает по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 0$ (1 балл); в точности при $\mu = 0,8$ оптимальным может быть любое число мигрантов (1 балл).
Итог 8 баллов.