Стратегия подготовки к экзамену

Задача

Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2014

10-й класс

компромиссный выбор

микроэкономика

Средняя: 1.8 (6 оценок)

23.03.2015, 23:40 (Илья Лукибанов)
23.03.2015, 23:40

(2)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Вася Митичкин готовится к важному экзамену в музыкальной школе. На экзамене его попросят сыграть отрывки из произведений Чайковского, Бородина и Рахманинова. После прослушивания каждого из произведений ставят оценку по 10-балльной системе. Итоговая оценка считается как средняя величина по трём оценкам. Вася имеет всего неделю для подготовки к экзамену. Известно, что подготовиться к исполнению произведений Чайковского проще. Ожидаемый балл
после Х дней подготовки равен 4+X. Произведения Бородина сложнее для исполнения, поэтому он ожидает, что после Y дней подготовки его оценка за исполнение будет равна 3+ 2$\sqrt{Y}$ . К исполнению сочинений Рахманинова он достаточно хорошо подготовился и не ожидает, что за столь кроткий срок сможет изменить свою оценку за их исполнение.

Как следует Васе разделить 7 дней подготовки (дни можно разделить между подготовкой к разным частям экзамена)?

Решение и ответ

К Рахманинову Вася не будет готовиться, поэтому Х+Y=7 и Х=7-Y
Итоговый средний по двум произведениям балл равен 1/2(11-Y)+1/2(3+2$\sqrt{Y}$)
Для нахождения максимума функции сделаем замену Z = $\sqrt{Y}$ , тогда
1/2(11-Z²)+1/2(3+2Z)
Парабола ветви виз, поэтому только один максимум в вершине параболы при Z = 1. Значит, Х= 6, Y= 1

Ответ:

x=6, y=1.

Примечание:

Возможно 3 способа решения:
I. С помощью максимизации целевой функции
1) Постановка задачи (записать целевую функцию и ограничения) 4 балла
2) Поиск максимума 16 баллов
3) Если не выполнена проверка на максимум – 18 баллов
4) Проверка, что обе оценки по произведениям не превышают 10, или, эквивалентно, количество дней на Рахманинова не превышает 6, а на Бородина – 7. – 19 баллов

II. Методом подбора
1) Проверить все возможные варианты (X=0, Y=7, …, X=7, Y=0) с соответствующими расчетами 16 баллов
2) Сравнить их между собой 4 балла
3) Учесть, что оценки, соответствующие X и Y, не должны превышать 10. Оценка снижалась на 1 балл
При этом если пропущен хотя бы один вариант без какого-либо обоснования, максимально возможный балл равен 15 баллам

III. С помощью сравнения предельной выгоды от изучения обоих произведений
Возможно два способа:
1) Дискретно, в виде таблицы
Сравнить предельные выгоды – в первый день выгодно изучать Бородина, а во все остальные – Чайковского. При этом важно учитывать, что оценки, соответствующие x и y не должны превышать 10 (оценка уменьшалась на 2 балла)
2) Непрерывно
Сравнить производные, и т.д.

Все задачи этой олимпиады

10-й класс

Задача	Баллы
Заказ для гномов	20
Реакция пассажиров на рост стоимости билетов	20
Стратегия подготовки к экзамену	20
Торговые барьеры: за и против	20
Ценовая политика в автоцентрах	20

11-й класс

Задача	Баллы
Звёздочки и шары	20
Мечта Аристарха	20
Приватизация фабрики «Нить»	20
Протекционизм в условиях кризиса	20
Совокупный спрос и совокупное предложение	20

9-й класс

Задача	Баллы
Импорт автомобилей класса «люкс»	25
Наказание за участие в картеле	25
Работать или рыбачить	25
Транспорт и недвижимость	25

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Все задачи этой олимпиады