економика

В государстве Спортляндия открылось производство усовершенствованных беговых дорожек с системой охлаждения и вентиляции. Все фирмы, производящие спортивный инвентарь функционируют в Спортляндии в условиях совершенной конкуренции. Для того, чтобы граждане Спортляндии стали активнее заниматься спортом государство решило ввести субсидию для покупателей беговых дорожек по ставке S денежных единиц за каждый спортивный тренажер.
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Ностальгия

В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко стоит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмотря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен $q_t=\max\{100-P_t; 0\}$, где $P_t$ – цена бутылки в году $t$, а $q_t$ – количество купленных бутылок в тысячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене $c=50$ рублей за бутылку и больше не несет никаких издержек.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Антимонопольная политика

Монополист, издержки производства которого представлены функцией $TC(q) ={q^2}/{4}$, работает на рынке с функцией спроса $Q^d (p)=30-p$. Проводимая государством антимонопольная политика подразумевает, что за каждую денежную единицу, на которую установленная монополистом цена превышает цену $p_c$, которая сложилась бы в равновесии, если бы фирма воспринимала цену как заданную, монополист платит штраф в размере $t$ денежных единиц. Общая сумма $T$, которую монополист обязан выплатить государству, определяется так:

В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2016

Сапоги-скороходы

В некотором царстве, в Тридесятом государстве жил-был царь Ерофей — любитель всяческих затей. И затеял он как-то раз модернизировать свою дружину — обуть каждого дружинника в сапоги-скороходы. Было в его царстве 40 мастеров, которые шили такие сапоги. Приказал Ерофей изымать у каждого мастера половину от того количества, что он сошьет сверх 1 пары в месяц.
В олимпиадах: 
Сибириада. Шаг в мечту — 2016

Субсидия на велосипеды

Спрос на велосипеды, который предъявляют две группы потребителей, описывается функциями $q_1=50-5p$ для первой группы и $q_2=64-4p$ для второй группы. В изначальном равновесии велосипеды покупают только потребители с высоким спросом. Чтобы стимулировать потребителей с низким спросом, государство вводит для них субсидию в размере 2 за каждый купленный велосипед. В новом равновесии велосипеды покупают обе группы потребителей, а равновесная цена увеличилась на 1, равно как и равновесное количество.
В олимпиадах: 
Сибириада. Шаг в мечту — 2016

Молодильные яблоки и натуральный налог

В Тридевятом царстве ежегодный спрос рядовых граждан на молодильные яблоки описывается функцией $Q_d=100–2P$, а ежегодное предложение яблок местными поставщиками — функцией $Q_s=2P–20$, где $Q$ — количество яблок в тоннах, а $P$ — цена тонны яблок в рублях.
В олимпиадах: 
Сибириада. Шаг в мечту — 2016

Валентина на рынке народной медицины

Бабушка Валентина знает множество народных рецептов от болезней, в том числе и рецепт травяного отвара из зверобоя, лаванды, душицы и перечной мяты, помогающий снять нервное напряжение. Пользуясь этим, она собирает травы, делает нужную смесь и продает на совершенно конкурентном рынке народных лекарственных средств от депрессии, где в настоящее время цена установилась на уровне $P$ руб. Свои затраты на заготовку $Q$ порций лекарства в год она оценивает в $TC(Q)=\frac12 Q^2$.

Таксания

Правительство страны Таксании имеет право облагать потоварным налогом всего два рынка – рынки товаров $A$ и $B$. На рынке товара $A$ предложение абсолютно эластично, функция спроса $Q_d=100-P$, где $P$ – цена товара в тыс. руб., а в первоначальном равновесии объем продаж равен $90$. На рынке товара $B$ спрос и предложение задаются следующими функциями: $P_d=100$, $Q_s=\frac12 P$ (цена так же выражается в тыс. руб.). Правительство при сборе налогов стремится минимизировать суммарные общественные потери.

Кривая Лаффера и излишки агентов

На некотором рынке некоторого товара предложение задается уравнением $P_s=cQ$, а спрос – уравнением $P_d=a-bQ$, где $a,b,c$ – какие-то неотрицательные константы. Кривая Лаффера для адвалорного налога на цену потребителей выглядит следующим образом: $T=2500t-2500t^2$. Найдите отношение излишка потребителей к излишку производителей для всех возможных значений налоговой ставки.

Адвалорный налог и сокращение прибыли

Спрос на продукцию монополиста линеен, а выручка максимальна при цене $50$ д. ед. Постоянные издержки отсутствуют, а переменные линейны и при объеме производства $25$ ед. равны $500$. После введения адвалорного налога в процентах от цены покупателя прибыль фирмы уменьшилась на $71,875\%$. Найдите налоговую ставку.