Фирма, являющаяся монополистом на рынке товара G, максимизирует прибыль. Спрос на товар G и предельные издержки монополиста линейны. Ценовая дискриминация запрещена.
Государство вводит потоварный налог на монополиста, одинаковый для каждой проданной единицы товара G. Ставка налога устанавливается таким образом, чтобы поступления в бюджет от взимания этого налога оказались максимальными. Это приводит к росту монопольной цены на 20%.
Определите эластичность спроса на товар G по цене в точке первоначального равновесия (до введения налога).

Комментарии

ответ -2.5?
Да
Тогда почему она все еще в категории нерешенных?)
А где решение?
Если надо могу написать, но только завтра, потому что это займет не мало времени.
Как только появится правильное решение, я сразу изменю статус задачи.
Q(d)=a-b*P,=>P=(a/b)-(Q/b)=>MR=(a/b)-(2Q/b).
MC=c=d*Q,
MR(1)=MC(1)
....
=>Q(1)=(a-bc)/(2+bd)
P(1)=(a+abd+bc)/(b*(2+bd)).
Далее, пусть налог введен в размере t на еденицу Q=>
MC(2)=c+dQ+t
MC(2)=MR(1)
...
Q(2)=(a-bc)/(2+bd)-(bt)/(2+bd)
P(2)=(a+abd+bc)/(b(2+bd))+(t)/(2+bd).
По условию
1.2P(1)=P(2)
...
t=(a+abd+bc)/(5b). (1)
ВВодим условие максимизации налоговых поступлений T
T=t*Q(2)
T'=0=>
(a-bc)/(2+bd)-(2bt)/(2+bd)=0=>
...
t=(a-bc)/(2b). (2)
(1)=(2)=>
(a-bc)/(2b)=(a+abd+bc)/(5b)
...
3a-7bc-2abd=0
adb=1.5a-3.5bc. (3)
итоговые выкладки
E(d)=(-b*P(1))/(Q(1))
подстовляем данные
=>E(d)=(-a-abd-bc)/(a-bc), учтем (3)
=>E(d)=-2.5
The end.
Логика неверная. Подумайте где.
Пытался найти геометрическое решение в задаче, так и не смог :(
Оно тут есть вообще? Кажется, что никак не получается графически задать максимизацию налоговых поступлений, а, следовательно, и новое равновесие.
Я не пытался искать графического решения, но есть, я полагаю, теорема о том, как выглядит прямоугольник, вписанный в треугольник, у которого будет максимальная площадь.
Если мы точно знаем, какой стороне принадлежат две вершины этого прямоугольника, а какие две остальные, то очевидно это прямоугольник, имеющий своим ребром среднюю линию этого треугольника.
давайте обозначим треугольник как ABC и прямоугольник KLMN причем KL лежит на BC. Проведем из точки A высоту на BC и получим два прямоугольных треугольника, в каждом из которых у нас кусок прямоугольника KLMN. Допустим, вписанный прямоугольник отличается от моего и имеет бОльшую площадь. Но я замечу, что в каждом из двух полученных прямоугольных треугольников наибольшую площадь ЧАСТИ искомого прямоугольника можно получить только если выбрать середину гипотенузы в качестве вершины этой части (товарищи экономисты могут вспомнить про спрос и максимум выручки).
Вполне убедительно
Возможно решение такое:
Пусть Pd=c-d*Q,Qd=(c-P)/d,MR=c-2d*Q
MC0=a+b*Q;
До введения налога : MC0=MR,Edp=Q'*p/q=-1*P*d/(d*(c-P))=P/(P-c)
a+b*Q=c-2d*Q Q0=(c-a)/(b+2d) P0=c-d*Q0=(cb+dc+da)/(b+2d)
тогда после преобразования формулы эластичности
(Р-с=(da-dc)/(b+2d)) получается Edp=(cd+cb+da)/(da-dc) (1)
После введения налога: MC1=a+b*Q+t
MC1=MR a+b*Q+t=c-2d*Q Q1=(c-d-t)/(b+2d)
P1=c-d*Q1=(cb+dc+da+dt)/(b+2d)
По условию Р1=1,2*Р0,тогда после преобразования получается что cb+dc+da=5dt
Тогда это выражение можно подставить в формулу (1), то есть Edp=5dt/(da-dc)=5t/(a-c) (2)
Фактически взимания от налога = T(t)=Q1*t=t*(c-a-t)/(b+2d)=-(t2+ta+tc)/(b+2d)
Для максимизации этих взиманий найдем производную, то есть T'=-(2t+a-c)=0 следовательно
t=(c-a)/2
Подставив это в формулу(2),получим, что Edp=5*(c-a)/2(a-c) =-2.5
И тут есть существенный логический недочет.
Пусть, MC=aQ+b, a P=c-dQ, тогда MR=c-2dQ в этом случае выпуск до введения налога равен Qm1=(c-b)/(a+2*d). a цена соответственно Pm1=c-d*(c-b)/(a+2*d), нам надо найти эластичность при этой цене она равна -Pm1/(c-Pm1) или -(c-d*(c-b)/(a+2*d))/(d*(c-b)/(a+2*d)) это пригодится в конце решения задачи. Налог минимизирующий прибыль равен (c-b)/2, так как потоварный налог означает параллельный перенос MC на его величину вверх, функция предельных издержек примет вид MC=aQ+b+(c-d)/2, тогда новый оптимальный выпуск будет равен соответственно Qm2=(c-b)/(2*(a+2d)), подставляем этот выпуск в функцию цены получаем,
что Pm2=c-d*(c-b)/(2*(a+2*d)), из условия задачи 1,2*Pm1=Pm2, подставив найденный значения цен, найдём что 0,2с=0,7d*(c-b)/(a+2*d),
выражаем правую часть через c, получаем $\frac{d*(c-b)}{a+2*d}$ = $\frac{2}{7}*c$, подставляем полученное значение в выражение эластичности получаем -(1-2/7)/(2/7)=-2,5
Прошу прощения, если из-за оформления возникли трудности с пониманием, если опечаток нет решение должно быть верным.
Что такое "налог минимизирующий прибыль" и как он был найден? Все остальное в порядке.
максимум налоговых сборов (вписанный в треугольник прямоугольник) достигается когда новая цена предложения =макс цена+равновесная / 2
а новая цена спроса =изначальная цена/2 (вписанный в треугольник прямоугольник)
|E|=P/1.4P-P=2,5
Ответ верный (по абсолютному значению), но решение потеряло бы баллы из-за отсутствие обоснований сформулированных в нем утверждений.
форму прямоугольника и то как относится новая цена предложения к старой,можно доказать через подобие треугольников
а ещё тут тоже самое что и нахождением максимума тр ,только на меньшей части.максимум там ,где достигается равенство отрезков
Да все можно доказать. Я ж не спорю. Просто комментирую решение. (Самое сложное в графическом решении будет доказать, что именно там будет максимум налоговых сборов, но и это можно сделать).
А такое решение верное? (В смысле оценки, можно ли за что-то снять баллы)
Пусть $P_{d}=a-bQ$ - спрос, $MC=c+dQ$ - предельные издержки, тогда:
1) Найдем параметры до введения налога $MR=a-2bQ,MС=c+dQ \rightarrow Q^*=\frac{a-c}{2b+d}, P=\frac{ab+ad+bc}{2b+d}$
2) Теперь после введения налога, но сначала рассчитаем его величину: $$MC=c+t+dQ$$, значит $$c+t+dQ=a-2bQ$$, $$Q=\frac{a-c}{2b+d}- \frac{t}{2b+d}, Tx=Q \cdot t, Tx=(\frac{a-c}{2b+d}-\frac{t}{2b+d}) \cdot t \rightarrow max, t=\frac{a-c}{2}$$, получаем $Q=\frac{a-c}{2(2b+d)}$ и $$P=\frac{3ab+2ad+bc}{2(2b+d)}$$
3) По условию $P_{1}=1.2P_{2}$, следовательно $$3ab+2ad+bc=2.4(ab+ad+bc)$$, откуда $$3ab-2ad-7bc=0$$
4) Теперь подставим все в формулу эластичности: $$E=\frac{1}{(P_{d})'}\cdot\frac{P}{Q}=\frac{1}{-b}\cdot \frac{ab+ad+bc}{a-c}$$, выражая $ad=1.5ab-3.5bc$, и подставляя в формулу эластичности получаем ответ $-2.5$
Да
Ну, я остановилась на моменте,когда получила Q2=0,5Q1.

E= дельта Q%/дельта P% => E= -50%/+20%= -2,5

Можно и так (но только с линейными функциями)
Араик, а почему в 2 пункте MR не изменяется?

ведь P изменяется => и MR

пс вроде дошло почему но хочу уточнить ;)

Есть более быстрое геометрическое решение с элементами алгебры. Сначала поймем как расположена прямая MC2. Нам известно, что налоговые поступления максимальны. Это означает, что




Для того, чтобы это понять найдем Q, при котором MR = MC2 и подставим в выражение t*Q->max. Оказывается, что ставка налога равна . Соответственно точка пересечения данное прямой с осью цен равно

Эта точка находится ровно посередине между низшей точкой MC1 и высшей Pd. (Этот факт, кстати, о том, что площадь прямоугольника вписанного в треугольник максимальна, когда одна из его сторон является средней линей, можно доказать в общем виде геометрически)

Теперь рассмотрим треугольники, которые у нас получились.
подобен с коэффициентом 2. (Т.к MP средняя линия треугольника АСО.) Соответственно высоты опущенные из точек Р и О на AC относятся с таким же коэфициентом.
Вернемся к обозначениям задачи. Получается, что в точке O количество товара в два раза больше, чем в точке P. А так же известно, что цена от точки P =1.2P1, а от точки O = P1. Расписываем эластичность по двум точкам.