Эластичность выпуска по труду и рентабельность: тайные взаимосвязи

Задача

Средняя: 9.3 (3 оценок)

Алексей Суздальцев

25.08.2008, 00:42 (Алексей Суздальцев)
07.05.2011, 22:18

(4)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Совершенно конкурентная фирма, закупающая на конкурентном рынке единственный фактор производства – труд, столкнулась со следующими значениями эластичности выпуска по труду и рентабельности при различных количествах нанятых работников:

$L$	$L_1$	$L_2$	$L_3$	$L_4$	$L_5$	$L_6$	$L_7$	$L_8$	$L_9$
$E_Q^L$	0,762	0,778	0,735	0,667	0,58	0,476	0,346	0,19	0
Рентабельность	250%	200%	170%	150%	130%	110%	93%	75%	57%

Известно, что среди указанных в таблице объемов труда есть объем, оптимальный для фирмы. Определите его.

Решение и ответ

$E_Q^L = MP_L \frac{L}{Q}$.
Рентабельность = $\frac{\pi}{TC}$.
В точке оптимума $ MP_L = \frac{w} {p} \Rightarrow E_Q^L = MP_L \frac{L} {Q} = \frac{w} {p}\frac{L} {Q} = \frac{{TC}} {{TR}} = \frac{1} {{\pi /TC + 1}} $
Таким образом, в точке оптимума существует явная функциональная связь между эластичностью выпуска по труду и рентабельностью. Осталось обнаружить эту связь для какого-то $L$ из таблицы.
По данным о рентабельности рассчитаем для каждого $L$ значение $TC/TR$.

$L$	$L_1$	$L_2$	$L_3$	$L_4$	$L_5$	$L_6$	$L_7$	$L_8$	$L_9$
$E_Q^L$	0,762	0,778	0,735	0,667	0,58	0,476	0,346	0,19	0
Рентабельность	250%	200%	170%	150%	130%	110%	93%	75%	57%
$TC/TR$	0,286	0,333	0,37	0,4	0,434	0,476	0,518	0,571	0,637

Как видим, равенство $E_Q^L = \frac{{TC}}{{TR}}$выполняется при $L = L_6$. Это и есть искомая точка оптимума.

Ответ:

$L = L_6$.

Примечание:

Подумайте:

как можно было бы по-другому решить эту задачу, если бы в условии были даны конкретные количества труда?
имела бы задача решение, если бы в условии не было сказано, что одно из приведенных в таблице значений труда точно оптимально?

Но ведь в FC еще могут входить альтернативные затраты! Фраза "Труд — единственный фактор производства" определяет лишь AVC, как мне кажется! Если я все-таки не прав, поясните пожалуйста, был бы очень признателен!

Алексей Суздальцев

15.12.2008 22:10 ссылка

Формально, конечно, вы правы - не могу не похвалить за фантазию, но, согласитесь, эта задача вовсе не на тему "альтернативные издержки и компромиссный выбор". В задачах на теорию производителя очень редко делается акцент на то, что максимизируется именно экономическая прибыль. На самом деле, кого волнуют альтернативные издержки, если они в большинстве случаях сидят в постоянных и не влияют на результат максимизации? Поэтому и устоялась традиция, что если говорят "единственный фактор производства", то имеют в виду "FC=0", если, конечно, рассматривается не very short run.

Дмитрий Сорокин

15.12.2008 22:31 ссылка

Нет, ну я согласен. =)
Я понял, в общем-то, что ФЦ не нужны, когда решал, просто куда уж нам, школьникам, до общепринятых обозначений. =)

Илья Самарин

07.11.2010 14:35 ссылка

подскажите, пожалуйста, откуда взяли равенство MPL=w/p??

Араик Косян ↑

07.11.2010 14:44 ссылка

Выражение для оптимума $MRP_L=w$, $MR*MP_L=w$ $\rightarrow$ для рынка совершенной конкуренции $MR=p \rightarrow P*MP_L=w \rightarrow MP_L=\frac{w}{p}$

Евгений Дрынкин ↑

08.11.2010 23:10 ссылка

вообще говоря, это неверно

Араик Косян ↑

09.11.2010 23:23 ссылка

А что именно неверно в условиях данной задачи?

Даниил Герчик

08.11.2010 20:20 ссылка

При L=6?

Араик Косян ↑

08.11.2010 22:11 ссылка

Это верно для всех $L$, при условии совершенной конкуренции.

Даниил Герчик ↑

08.11.2010 23:11 ссылка

Этим самым ты хочешь сказать,что нет разницы для фирмы,что при L=1 и при L=9?!

Сурен Аванян ↑

08.11.2010 22:12 ссылка

Это что? )

Араик Косян ↑

08.11.2010 22:50 ссылка

$MP_L=\frac{w}{p}$ для совершенной конкуренции

Гули Холматова

09.11.2010 09:19 ссылка

Разница между L=1 и L=6 есть.
Евгений Дрынкин,почему не верно?

Тимур Аббясов ↑

09.11.2010 18:43 ссылка

Думаю, Евгений имел в виду, что те равенства, которые написал Араик, означают лишь то, что производная прибыли равна нулю, то есть характеризуют некоторую критическую точку для прибыли, однако из этого еще не следует, что в этой точке будет именно максимум прибыли.

Даниил Герчик

09.11.2010 22:28 ссылка

У меня есть решение,где не нужны значения эластичности выпуска по труду. Если кому-то интересно могу выложить

Гули Холматова

09.11.2010 23:06 ссылка

Тимур,я тоже об этом подумала. Но ведь согласно условию конкретно этой задачи, равенство,написанное Араиком,справедливо.
Даниил, выкладывайте :))

Тимур Аббясов ↑

09.11.2010 23:42 ссылка

Поэтому Евгений и написал "вообще говоря". Чтобы получить полный балл нужно подробно описать, почему такое равенство будет равносильно условию оптимума в данной задаче. Во всяком случае не очень корректно сразу исходить из $MRP_L = w$ - возникает вопрос "А с чего вы взяли? Где доказательство?" :)

Гули Холматова

10.11.2010 04:18 ссылка

Точно. Согласна :)
Кстати, автор задачи в своем решении тоже не объясняет,почему данное равенство соответствует уловию оптимума.

Даниил Герчик

10.11.2010 22:29 ссылка

Pr/Tc=Pr/w*L=Рентабельность => Pr=Рентабельность*w*L
Так как рынок факторов конкорентный,значит w=const
L=1, Pr=2.5w
L=2, Pr=2*2*w=4w
L=3, Pr=3*1.7*w=5.1w
L=4, Pr=6w
L=5, Pr=6.5w
L=6, Pr=6.6w
L=7, Pr=6.51w
L=8, Pr=6w
L=9, Pr=5.13w
Прибыль максимальна при L=6(Pr=6.6w)

Тимур Аббясов ↑

10.11.2010 22:45 ссылка

Даниил, ошибка в том, что у нас количества труда не даны в условии, $L_6$ означает какое-то количество труда, отличное от других $L_i$, при этом оно может быть любым, не только шесть.

Евгений Дрынкин

10.11.2010 23:06 ссылка

я не про это говорил. при более-менее адекватных предположениях единственная критическая точка и будет оптимальной. проблема в том, что, например, для монопсонии это неверно. подумайте почему

Тимур Аббясов ↑

10.11.2010 23:51 ссылка

Упс...)

Гули Холматова

11.11.2010 11:12 ссылка

ну потому что при монопсонии покупатель выбирает количество из равенства MRPL=MRCL. потом это количество подставляет в уравнение предложения труда(например) и,в итоге, покупает по цене,которая гораждо ниже,чем могла бы быть. в общем, у него же нет кривой спроса
или почему?
но как это касается именно этой задачи? или вы просто хотели напомнить этот факт?

Евгений Дрынкин ↑

11.11.2010 23:57 ссылка

да, верно.
MRPL=(P*Q)', причем производная берется по L. не надо запоминать шаблонные формулы :)