Масштабирование

Задача

Голосов еще нет

Антон Лыков

09.06.2026, 20:32 (Антон Лыков)
10.06.2026, 01:02

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Василий производит товар Икс по технологии $q(l)$, где $q$ — выпуск, а $l$ - единственный фактор производства — труд. Производственная функция возрастает и обладает убывающей предельной производительностью.

Предприниматель реализует товар на конкурентном рынке. Назовем «ценами в экономике» пару $(p,w)$, состоящую из цены продукции и заработной платы.

а) Докажите, что при одновременном увеличении всех цен в экономике в $k>1$ раз прибыль фирмы также увеличивается ровно в $k$ раз.

б) Докажите, что при росте цены продукции в $k>1$ раз и сохранении заработной платы на прежнем уровне прибыль фирмы увеличивается более чем в $k$ раз, если исходная прибыль положительна.

в) Докажите, что при росте заработной платы в $k>1$ раз и сохранении цены продукции на прежнем уровне прибыль фирмы уменьшается менее чем в $k$ раз, если новая прибыль остается положительной.

г) Как в сценариях (а)-(в) изменятся оптимальные объемы нанимаемого труда? Строго докажите.

д) Верно ли, что для любых двух наборов цен $(p_1,w_1)$ и $(p_2,w_2)$ выполняется:

$$\pi\left(\frac{p_1+p_2}{2},\frac{w_1+w_2}{2}\right) \le \frac{\pi(p_1,w_1)+\pi(p_2,w_2)}{2}$$

Решение и ответ

Канал об олимпиадной экономике https://t.me/economybyanton

Будем решать пункты (а)--(в), не используя предположение об убывающей предельной производительности труда. Такое решение получится особенно элегантным.

Можно было бы решать задачу с помощью дифференцирования, однако мы воспользуемся лишь определением функции прибыли.

Будем считать, что фирма максимизирует прибыль:

\[
\pi(p,w)=\max_{l\ge 0}\{pq(l)-wl\}.
\]

Также положим $l^*(p,w)$ -- зависимость оптимального уровня найма от цен.

а) Рассмотрим новые цены $(kp,kw)$.

Тогда

\[
\pi(kp,kw)
=
\max_{l\ge0}\{kpq(l)-kwl\}
=
\max_{l\ge0}k\bigl(pq(l)-wl\bigr).
\]

Поскольку $k>0$, множитель можно вынести за знак максимума:

\[
\pi(kp,kw)
=
k\max_{l\ge0}\{pq(l)-wl\}
=
k\pi(p,w).
\]

Следовательно,

\[
\pi(kp,kw)=k\pi(p,w).
\]

б) После увеличения цены продукции до $kp$ фирма может сохранить прежний объем труда $l^*=l^*(p,w)$. Тогда ее прибыль составит

\[
kpq(l^*)-wl^*.
\]

Преобразуем:

\[
kpq(l^*)-wl^*
=
k\bigl(pq(l^*)-wl^*\bigr)
+(k-1)wl^*.
\]

Так как

\[
pq(l^*)-wl^*=\pi(p,w),
\]

получаем

\[
kpq(l^*)-wl^*
=
k\pi(p,w)+(k-1)wl^*.
\]

Из условия $\pi(p,w)>0$ следует, что $l^*>0$, поэтому

\[
(k-1)wl^*>0.
\]

Следовательно,

\[
kpq(l^*)-wl^*
>
k\pi(p,w).
\]

Но новая прибыль есть максимум по всем возможным объемам труда, поэтому

\[
\pi(kp,w)
\ge
kpq(l^*)-wl^*
>
k\pi(p,w).
\]

Откуда и получаем нужное неравенство:

\[
\pi(kp,w)>k\pi(p,w).
\]

в) Пусть

\[
\tilde l=l^*(p,kw).
\]

Тогда

\[
\pi(p,kw)=pq(\tilde l)-kw\tilde l.
\]

При старых ценах и том же объеме труда прибыль равна

\[
pq(\tilde l)-w\tilde l.
\]

Поскольку фирма при старых ценах выбирает оптимальный объем труда,

\[
\pi(p,w)
\ge
pq(\tilde l)-w\tilde l.
\]

Кроме того,

\[
pq(\tilde l)-w\tilde l
=
\pi(p,kw)+(k-1)w\tilde l.
\]

Следовательно,

\[
\pi(p,w)
\ge
\pi(p,kw)+(k-1)w\tilde l.
\]

Так как по условию новая прибыль положительна,

\[
\pi(p,kw)>0.
\]

Отсюда

\[
pq(\tilde l)>kw\tilde l
\]

и, следовательно,

\[
w\tilde l<\frac{\pi(p,kw)}{k-1}.
\]

Подставляя в предыдущее неравенство, получаем

\[
\pi(p,w)
<
\pi(p,kw)+\pi(p,kw)
=
k\,\pi(p,kw).
\]

Следовательно,

\[
\pi(p,kw)>
\frac{\pi(p,w)}{k}
\]

То есть прибыль уменьшается менее чем в $k$ раз.

Продолжение

Темы

Сложность

Автор