Антон Лыков

Потребитель покупает два товара $X$ и $Y$, его предпочтения описываются функцией полезности $u(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}$. В базисном периоде цены обоих товаров были равны 1. В текущем периоде цена товара $X$ стала равна 3, а цена товара $Y$ равна некоторому неизвестному числу $p>0$. Доходы потребителя в двух периодах неизвестны и могут различаться. В каждом периоде потребитель выбирает оптимальную для себя корзину.

В некоторой стране производится только два товара - $X$ и $Y$. Единственным ресурсом является труд, общее количество которого фиксировано. В каждой из двух отраслей предельный продукт труда тем выше, чем больше труда уже занято в этой отрасли. Докажите, что альтернативные издержки производства товара $X$ убывают по мере увеличения его выпуска.

Монополист продаёт товар на рынке с обратной функцией спроса $P(Q)$. Известно, что $P(Q)$ строго убывает и является вогнутой функцией (то есть $P''(Q)\leq 0$), а предельные издержки фирмы монотонно возрастают. Государство вводит потоварный налог в размере $t>0$ на каждую проданную единицу товара. Считайте, что как до, так и после введения налога монополист производит положительный объём продукции.

Докажите, что после введения налога цена товара для потребителя возрастёт, но величина этого роста окажется меньше размера потоварного налога.

Вася Пупкин только начинает изучать микроэкономику и где-то прочитал, что при введении потоварного налога монополист перекладывает на потребителей лишь часть налога, поэтому цена товара возрастает менее чем на налоговую ставку. Согласны ли вы с этим утверждением? Если да, докажите его. Если нет, приведите контрпример. Решайте задачу в самых общих предпосылках.

На некотором рынке функция предложения строго возрастает, а функция спроса строго убывает. Первоначально на рынке устанавливаются равновесные цена $P^*$ и объём продаж $Q^*$. Государство хочет сократить объём потребления товара на $20\%$ и рассматривает два способа добиться этой цели:

1. ввести потоварный налог в размере $t$ ден. ед. с каждой проданной единицы товара;

2. ввести процентный налог по ставке $\tau$ от цены, получаемой производителем.

Считайте, что все рассматриваемые цены и объёмы положительны.

Фирма использует $100$ факторов и производит товар в соответствии с технологией
\[
Q=\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{2x_2}+\sqrt{3x_3}+\ldots+\sqrt{100x_{100}}\right)^2,
\]
где $x_i\geqslant 0$ - количество $i$-го фактора. Цены факторов производства равны соответственно $1,2,3,\ldots,100$. Найдите средние издержки фирмы.

В стране население разделено на пять равных по численности групп. До проведения реформы доходы представителей этих групп составляли соответственно 10, 20, 30, 40, 50 ден. ед. Государство провело перераспределение доходов. Доход каждого представителя двух наиболее обеспеченных групп уменьшился на одну и ту же величину $x$, а доход каждого представителя двух наименее обеспеченных групп увеличился на эту же величину $x$. Доход представителей средней группы не изменился.

В стране население разделено на 100 равных по численности групп. Доход каждого представителя первой группы равен 5 ден. ед., а доход каждого представителя каждой следующей группы на 5 ден. ед. больше, чем предыдущей. Вычислите коэффициент Джини.

Для справки:
\[
1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},
\qquad
1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]

В стране имеются два региона, равные по численности населения и совокупному доходу. В каждом регионе население разделено на две равные по численности однородные группы: все представители одной группы получают одинаковый доход. Доходы представителей двух групп первого региона равны $x_1$ и $x_2$, а доходы представителей двух групп второго региона равны $y_1$ и $y_2$. Коэффициенты Джини в первом и втором регионах равны соответственно $G_1$ и $G_2$, а коэффициент Джини во всей стране равен $G$.

Функции спроса и предложения на рынке линейны. Известно, что при цене 100 возникает избыток в размере 20 единиц, а при цене 60 возникает дефицит - 30 единиц. Найдите равновесную цену на рынке.