Производственная функция некоторого бизнеса и спрос на его продукцию имеют вид $Q(K,L)=\sqrt{10KL}$ и $P^{D}(Q)=100-Q$ соответственно. Единица труда (работа одного специалиста в течение месяца) обходится предпринимателю в $w=1$, а единица капитала (аренда производственных мощностей) стоит $r=40$.
(a) Сколько единиц капитала $K^{\star}$ и труда $L^{\star}$ будет нанято? Сколько единиц труда будет в среднем приходиться на одну единицу капитала?
(b) Каким будет выпуск фирмы $Q^\star$? Какую цену $P^\star$ установит предприниматель? Какой будет его прибыль $\pi^\star$?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Суть: выведем из производственной функции функцию издержек
$Q(L;K)=\sqrt{LK}$ нужно найти максимум этой функции, нет разницы: искать максимум $Q(L;K)=\sqrt{LK}$ или $Q(L;K)=LK$
$TC=L+40K \rightarrow L=TC-40K$; $KL=K(TC-40K) \rightarrow KL=K*TC-40K^2$
Видим, что это парабола ветвями вниз, следовательно, максимум в вершине, ищем:
$K=\frac{TC}{80}$, подставляем обратно в функцию:
$KL=\frac{TC^2}{160}$, теперь можем записать производственную функцию от одной переменной:
$Q(TC)=\frac{TC}{4\sqrt{10}}*\sqrt{10}=\frac{TC}{4}\rightarrow TC=4Q$
Запишем формулу прибыли как функцию от Q:
$\pi(Q)=TR-TC$
$\pi(Q)=(100-Q)Q-4Q \rightarrow max$
$Q^*=48$, прибыль легко найти, подставив оптимальный выпуск.
Теперь перейдем к оптимальным $L$ и $K$.
Обратив внимание на производственную функцию, заметим, что она является частным случае производственной функции Кобба-Дугласа. (вида: $Q(L;K)=K^\alpha L^\beta$;$\: \alpha\: ,\beta > 0$
Если провести некоторые математические преобразования (мне лень и не хочу техать), то можно получить, что $\alpha\:$и$\: \beta$ — доли от общих издержек, т.е. $\alpha TC$ — расходы на капитал $K$,$\: \beta TC$ — расходы на труд $L$. В нашей задаче обе доли равны 0,5.
Значит $TC(48)=L+40K \rightarrow 192=L+40K \rightarrow \frac{192}{2}=L=40K$, найти точные значения несложно.