Географическое разнообразие

Общую прибыль можно записать так:
\[ \pi =
(p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \dots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 +\dots + N).
\]
После подстановки обратных функций спроса $p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}}$ и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
\[ \pi =
(20 \sqrt{q_1} - 2q_1) + (20 \sqrt{q_2} - 2q_2) + \dots + (20 \sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2+N}{2}.
\]
Выражение в каждой из скобок — парабола относительно $\sqrt{q_i}$ (каждое $\sqrt{q_i}$ влияет на значение только «своей» параболы). Если $\sqrt{q_i}=t$, то выражения в скобках принимают вид $(20t-2t^2)$. Все параболы имеют вершину в точке $t=5,$ то есть $q_i = 25$.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:
\[
\pi_i ' = (20 \sqrt{q_i} - 2q_i) '= \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2. \]

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к $0$ даст максимум выражения под знаком производной: $q_i=25$.

Еще один способ — посчитать прибыль в регионе $i$ как функцию от цены:
\[
\pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2\cdot \frac{400}{p_i^2}.
\]
Это парабола с ветвями вниз относительно $s=1/p_i$, максимум достигается при $p_i = 4$.

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):
\[
\frac{p_i-MC}{p_i}= \frac{1}{|\varepsilon|}.
\]
При данных функциях спроса $|\varepsilon|=2$, а $MC=2$ по условию. Отсюда получаем $p_i=4$.

Этот результат никак не зависит от того, каково значение $N$: сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных $q_i$:
\begin{equation}\label{pin}
\pi = (20\cdot 5 - 2\cdot 25) \cdot N - \frac{N^2+N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
\end{equation}
Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной $N$. Ее максимум достигается в вершине — точке $N= 49,5$, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной
\[ \pi =
\frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225.
\]