Прибыль — это не всё | Экономика для школьников

Задача

Региональный этап ВОШ — 2018

9 класс

10-11 класс

Средняя: 3.8 (29 оценок)

Александр Зотов

Данил Фёдоровых

20.01.2018, 15:50 (Анастасия Таратутенко)
21.01.2018, 21:21

(4)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Часто считается, что фирмы должны не просто максимизировать прибыль, а учитывать интересы общества: ограничивать негативное влияние на окружающую среду, не нарушать этических стандартов при ведении бизнеса, предоставлять рабочие места представителям социально незащищенных слоев населения.

Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и величины, зависящей от уровня безработицы в стране:
\[B=\pi+16(100-u),\]
где $\pi$ — прибыль, а $u$ — уровень безработицы в процентах.

Всего в стране проживают 100 человек, 70 из которых стабильно заняты на других производствах и не собираются устраиваться на фирму ABC. 30 человек являются безработными, и фирма ABC наймет сотрудников именно из их числа. (Больше никакие работодатели не предлагают им работу.)

Спрос на продукцию фирмы ABC задается уравнением $Q=120-P$. Фирма производит товар, используя только труд, при этом $Q=2L$. Если фирма наймет $L$ работников, нужно будет платить каждому из них зарплату $w=4L$.

На сколько процентных пунктов в этой ситуации уровень безработицы будет меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC прибыли?

Решение и ответ

Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что $\pi = TR - TC$, $TR=PQ$, $TC=wL$, $P=120-Q$, $w=4L$, $Q=2L$, $u=(30-L)/100 \cdot 100~\%$:

\[
B=(120-2L)\cdot 2L -4L\cdot L + 16(100-(30-L)).
\]
После упрощения получаем $B=-8 L^2 + 256 L + 1120
$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L^\star=16$.
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ($B '=-16L+256$) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна $-16$, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Примечание:

В этой задаче не будут работать стандартные формулы для ценообразования монополии ($MR=MC$, $MRP_L=MC_L$, связь индекса Лернера и эластичности спроса и т. п.), так как целевая функция фирмы — не прибыль.

Уровень безработицы составит \[u^\star=(100-70-16)/100 \cdot 100 \% = 14\%.\]

Прибыль фирмы равна $\pi = (120-2L)\cdot 2L -4L\cdot L$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L^\star=15$.
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ($\pi '=-16L+240$) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна $-16$, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Уровень безработицы в этом случае составил бы \[u^{\star\star}=(100-70-15)/100 \cdot 100 \% = 15\% ,\] то есть на 1 процентный пункт больше.

Альтернативное решение.

Выше представлена максимизация по переменной $L$, поскольку ее непосредственно просят найти в задаче. С не меньшим успехом можно было бы выразить функцию прибыли через $w$, $Q$ или $P$ (во всех случаях она оказалась бы квадратичной параболой с ветвями вниз), максимизировать, а затем перейти к $L$. В случае корректного решения должно получаться:

Все задачи этой олимпиады

10-11 класс

Задача	Баллы
Внезапный центробанк	30
Географическое разнообразие	30
Лоббирование	30
Прибыль — это не всё	30

9 класс

Задача	Баллы
Борьба с пробками	30
Географическое разнообразие	30
Лоббирование	30
Прибыль — это не всё	30

Прибыль — это не всё

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады