В Генуэзской республике существует единственный поставщик развлекательных услуг в виде лотереи - $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$. Спрос на продукцию монополиста линеен, при этом, если цена на лотерею превысит $30$, ни один житель республики не будет играть. Власти, пытаясь оценить деятельность монополиста, смогли узнать, что величина его предельных издержек, при увеличении количества на $1$, всегда увеличивается на одинаковую величину, а постоянных издержек монополия не имела вообще. Также власти узнали, что, если бы $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$ была совершенно конкурентной фирмой, то она имела бы излишек, равный $36$, а эластичность предельных издержек по объему выпуска была бы равна $\frac{2}{3}$. Получив эти сведения, власти пытались заставить монополиста действовать как совершенного конкурента. $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$ , а ответ услышали требование выплатить $12$ золотых. Только при такой минимальной «доплате» монополист был готов на переговоры.
Найдите оптимальный выпуск $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$.
*P.S. Все константы, используемые в задаче $ \in \mathbb{N}$
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Просьба не судить строго автора, это мой первый опыт)
Правда здесь излишек потребителя, но по аналогии можно понять и про излишек продавца.
2. Определим $Q^*_к$ для совершенной конкуренции: $\varepsilon= MC '\frac{Q}{MC}=d\frac{Q}{с+dQ}$, тогда $d\frac{Q}{с+dQ}=\frac{2}{3}=$, значит, $Q^*_{к}=\frac{2c}{d}$
3. Условие $\pi \to max$ выполняется при $P=MC$, тогда $MC(Q^*_{к})=3c=P $. Излишек производителя: $ S_{\bigtriangleup P_EP_{min}E} $, где $ E $- точка равновесия (для совершенно-конкурентной фирмы ф-ция предложения - восходящий участок $ MC $ выше $ AVCmin $), тогда излишек производителя составляет $ S_{\bigtriangleup ABC} $, получим $ S_{\bigtriangleup ABC} =\frac{3c-c}{2}*\frac{2c }{d}=\frac{2c^2}{d}=36$, следовательно, $c^2=18d$
4. Теперь определим, что такое $12$: монополист пойдет на переговоры при выплате $12$ золотых, значит, $\pi_{мон}-\pi_{сов}=12$, найдем $Q_{мон}$: так как $P(\frac{2c}{d})=3c $, то получим $3c=30-b\frac{36}{c}$, $ b=\frac{c(c-10)}{12} $ ($Q^*_{к}=\frac{36}{c}$ взяли из условия $c^2=18d$). $MR=30-\frac{c(c-10)}{6}Q$, $\pi \to max$ $MR=MC$, то есть $30-\frac{c(c-10)}{6}Q=c+\frac{c^2}{18}Q$, получим $Q=\frac{270-9c}{15c-c^2}$
5. $\pi_{мон}=S_{\bigtriangleup CKL}=\frac{(30-c)(270-9c)}{2(15c-c^2)}$, так как $FC=0$ (выражение для прибыли можно получить и аналитически)
$\pi_{сов}=3c\frac{36}{c}-c\frac{36}{c}-\frac{c^2}{36^2}\frac{36^2}{c^2}=108-36-36=36$, получим $\frac{(30-c)(270-9c)}{2(15c-c^2)}=48$, решая это уравнение получаем 2 значения $c$: $c_{1}=6 \in \mathbb{N}$ и $c_{2}=\frac{90}{7} \notin \mathbb{N}$, следовательно, $c=6$, а значит, $Q_{мон}=4$.
Прошу сильно не ругаться, первый раз работаю в $ \TeX $ ))
Решение отличается от моего)) Правда, у тебя график построен схематически, так, что не видно одного хорошего треугольника))
Именно его площадь равна $12$. Можно посчитать ее по формуле площади или интегралом. Правда необходимо оценить, что $MR(Q_{ск}^*)>0$ Ну это уже завтра...))
Араик, а в какой ты программе графики строишь??
Но все-таки через площадь треугольника убытков чуточку проще=)
По поводу этого треугольника: ты тоже остальные константы выражал и определенным интегралом площадь считал, как я понял?
$$\begin{cases}\frac{2c}{d}= \frac{30-c}{b+d},\text{} \\ \frac{72}{d}=(\frac{30-c}{b+d})^2,\text{} \\\ \frac{12}{b}=\frac{30-c}{b+d} \end{cases}$$
Как говорит один из пользователей сайта :"Считать площадь треугольника интегралом это слишком пафосно, стыдно должно быть за такое ;)" А зачем интегралом-то? Формула площади треугольника полегче будет вроде :)
Update.
А вот и нет, ошибался. Как я забавно выразился пару месяцев назад :-)