В Генуэзской республике существует единственный поставщик развлекательных услуг в виде лотереи - $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$. Спрос на продукцию монополиста линеен, при этом, если цена на лотерею превысит $30$, ни один житель республики не будет играть. Власти, пытаясь оценить деятельность монополиста, смогли узнать, что величина его предельных издержек, при увеличении количества на $1$, всегда увеличивается на одинаковую величину, а постоянных издержек монополия не имела вообще. Также власти узнали, что, если бы $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$ была совершенно конкурентной фирмой, то она имела бы излишек, равный $36$, а эластичность предельных издержек по объему выпуска была бы равна $\frac{2}{3}$. Получив эти сведения, власти пытались заставить монополиста действовать как совершенного конкурента. $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$ , а ответ услышали требование выплатить $12$ золотых. Только при такой минимальной «доплате» монополист был готов на переговоры.

Найдите оптимальный выпуск $\mathfrak{Benedito }$ $\mathfrak{Gentile }$ $\mathfrak{ inc.}$.

*P.S. Все константы, используемые в задаче $ \in \mathbb{N}$

Комментарии

Задача простенькая получилась=)
Просьба не судить строго автора, это мой первый опыт)
Исправил?)
Ну вроде как) Правда посложнее сделать не получилось))
Фразу "функция предельных издержек, при увеличении количества на 1, всегда увеличивается на одинаковую величину" стоит заменить на "величина предельных издержек...", т.к. функция - это нечто неизменное, изменяется ее значение (если я правильно понял тебя)).
Да, спасибо, исправил))
Излишек в 36 единиц это Qs-Qd ?
Нет, излишек в 36 - это PS или, иначе говоря, излишек производителя.
Нет. Не нашел ничего лучше, чем ответить ссылкой: http://50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=17&r=s&z=1
Правда здесь излишек потребителя, но по аналогии можно понять и про излишек продавца.
Единственное, что пришло вчера в голову - это выразить всё через 1 параметр (именно параметр, например с: Pd(Q)=30-bQ; MC=c+dQ) и посчитать, подставив, в разности прибылей (в условие выплаты копменсации) и найти все остальные, это всё, на что меня вчера вечером хватило
Оптимальный выпуск для монополиста равен 4?
Правильный ответ есть)) Просьба не писать решение, пусть остальные подумают)) По сути, задача ведь простая?)
Да, ответ совпал, но у меня тут решение, сойти с ума можно)), я тут выражал перевыражал, что только не делал, если понадобиться могу отсканировать и выложить
Араик, задача деействительно несложная, если решать как я решал, то главное не запутаться в преобразованиях)
Нет, ну если прямо так плохо у вас выражается, то милости прошу сюда)) Только не злоупотребляйте))
Выражается всё прекрасно, главное внимательно всё преобразовывать)
Ну да)) Не было проблем с интерпретацией последнего условия и всей задачи в целом?)
Ды нет, я в комментарии выше написал основную суть моего решения)
1. Так как функция спроса задана линейной функцией и $P_d(0)=30$, то $P_d=30-bQ$. Исходя из условия «величина его предельных издержек, при увеличении количества на $1$, всегда увеличивается на одинаковую величину», получим: $MC(Q+2)-MC(Q+1)=MC(Q+1)-MC(Q)=d$ (приращение функции пропорционально приращению аргумента), значит, $MC=c+dQ$ - линейная функция. Схематично изобразим это на графике
y_544476ce_1.jpg
2. Определим $Q^*_к$ для совершенной конкуренции: $\varepsilon= MC '\frac{Q}{MC}=d\frac{Q}{с+dQ}$, тогда $d\frac{Q}{с+dQ}=\frac{2}{3}=$, значит, $Q^*_{к}=\frac{2c}{d}$
3. Условие $\pi \to max$ выполняется при $P=MC$, тогда $MC(Q^*_{к})=3c=P $. Излишек производителя: $ S_{\bigtriangleup P_EP_{min}E} $, где $ E $- точка равновесия (для совершенно-конкурентной фирмы ф-ция предложения - восходящий участок $ MC $ выше $ AVCmin $), тогда излишек производителя составляет $ S_{\bigtriangleup ABC} $, получим $ S_{\bigtriangleup ABC} =\frac{3c-c}{2}*\frac{2c }{d}=\frac{2c^2}{d}=36$, следовательно, $c^2=18d$
4. Теперь определим, что такое $12$: монополист пойдет на переговоры при выплате $12$ золотых, значит, $\pi_{мон}-\pi_{сов}=12$, найдем $Q_{мон}$: так как $P(\frac{2c}{d})=3c $, то получим $3c=30-b\frac{36}{c}$, $ b=\frac{c(c-10)}{12} $ ($Q^*_{к}=\frac{36}{c}$ взяли из условия $c^2=18d$). $MR=30-\frac{c(c-10)}{6}Q$, $\pi \to max$ $MR=MC$, то есть $30-\frac{c(c-10)}{6}Q=c+\frac{c^2}{18}Q$, получим $Q=\frac{270-9c}{15c-c^2}$
5. $\pi_{мон}=S_{\bigtriangleup CKL}=\frac{(30-c)(270-9c)}{2(15c-c^2)}$, так как $FC=0$ (выражение для прибыли можно получить и аналитически)
$\pi_{сов}=3c\frac{36}{c}-c\frac{36}{c}-\frac{c^2}{36^2}\frac{36^2}{c^2}=108-36-36=36$, получим $\frac{(30-c)(270-9c)}{2(15c-c^2)}=48$, решая это уравнение получаем 2 значения $c$: $c_{1}=6 \in \mathbb{N}$ и $c_{2}=\frac{90}{7} \notin \mathbb{N}$, следовательно, $c=6$, а значит, $Q_{мон}=4$.

Прошу сильно не ругаться, первый раз работаю в $ \TeX $ ))

my_zadacha.jpg
Решение отличается от моего)) Правда, у тебя график построен схематически, так, что не видно одного хорошего треугольника))
Именно его площадь равна $12$. Можно посчитать ее по формуле площади или интегралом. Правда необходимо оценить, что $MR(Q_{ск}^*)>0$ Ну это уже завтра...))
Блин, а я думал, что если кривая MC линейна и неэластична в какой-то точке, значит она пересекает ось Q, а не ось P. По аналогии с линейной кривой предложения.
Ну я решал вообще без графика, всё выводил аналитически (только кроме излишка производителя, его как площадь находил), до более простого, аналитически-графического решения, уже потом допер, когда ответ получил. Насчёт этого треугольника я подумаю завтра))
Араик, а в какой ты программе графики строишь??
Ты себе не представляешь, какой ты по счету человек, который меня об этом спрашивает)) Advanced Grapher)))
Но все-таки через площадь треугольника убытков чуточку проще=)
Надо скачать, а то надоело уже рисовать и сканировать.)
По поводу этого треугольника: ты тоже остальные константы выражал и определенным интегралом площадь считал, как я понял?
Не совсем)) Идейно мое решение сводится к системе с тремя уравнениями и тремя неизвестными:
$$\begin{cases}\frac{2c}{d}= \frac{30-c}{b+d},\text{} \\ \frac{72}{d}=(\frac{30-c}{b+d})^2,\text{} \\\ \frac{12}{b}=\frac{30-c}{b+d} \end{cases}$$
Как говорит один из пользователей сайта :"Считать площадь треугольника интегралом это слишком пафосно, стыдно должно быть за такое ;)" А зачем интегралом-то? Формула площади треугольника полегче будет вроде :)
Я по - другому говорил!

Update.
А вот и нет, ошибался. Как я забавно выразился пару месяцев назад :-)

Да это вроде цитата ;))
Систему трех уравнений с тремя неизвестными, не знаю как для других, но мне не проще решать, мне легче в строчечку всё выписать и аккуратненько посчитать, ну эта система несложная)