Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ — 2011

Раздел

Темы

Сложность

10
Средняя: 10 (2 оценок)

Автор

07.05.2011, 22:11 (Алексей Суздальцев)
28.09.2017, 21:02
Компания «Progressive stools» владеет тремя заводами по производству современных инновационных табуреток. Для каждого из заводов в таблице приведена зависимость месячных издержек от количества произведенных на нем за этот месяц табуреток:

Номер завода Функция затрат
1 $TC_1(q_1)=3q_1^2-q_1+1432$
2 $TC_2(q_2)=3q_2^2+q_2+456$
3 $TC_3(q_3)=3q_3^2+3q_3+123$

Даже если на каком-то заводе ничего не производится, фирма несет фиксированные издержки, связанные с этим заводом.
Выведите «общую» для фирмы функцию $TC(Q)$, которая показывает минимально возможные издержки фирмы на производство в общей сложности $Q$ единиц продукции в месяц. При этом имейте в виду, что количество даже самых инновационных табуреток может выражаться только целым числом.

Комментарии

Ребят я так и не понял тут, это случайность, что интегралом ответ совпадает?
Расскажи, о чем ты.
Если ты о том, что без ограничения на целочисленность получался бы тот же ответ, то это не так (см. примечание).
Но, если выводить функцию без ограничения на целочисленность, то ответ очень похож.
Это да)
Я правильно понимаю, что ответы будут отличаться на константу для такой задачи с любыми квадратичными функциями? Есть ли у этого какая-нибудь интуиция?
Когда делал эту задачу на олимпиаде, просто взял сложил функции $MC$ с учетом того что $q_{1}+q_{2}+q_{3}=Q$, взял интеграл получил $VC=Q^2+Q$ ну, а дальше просто добавил FC.

Кто-то сказал, что кто-то из математиков доказал, что для квадратичной фукнции это будет совпадать чисто случайно всегда, а для других нет. Верно ли это?

Это я сказал на разборе, что профессор МГУ А. В. Кочергин считает верным тот факт, что ответы при целых и произвольных Q при квадратичных издержках будут отличаться на константу. Но я сам этот факт не проверял, поверил профессору на слово.
Ты хочешь сказать, ты сложил графики $MC$ (полученные дифференцированием) по горизонтали и взял интеграл? Ты действительно получил "основную часть" $VC$ правильно (она как в дискретном). Будет ли так для любых квадратичных функций, не знаю.

Однако в действительности $VC$ в непрерывном случае не будут равны $Q^2+Q$. При $Q>1$ они будут равны $Q^2+Q-2/3$, а при $Q<1$ будут описываться другой формулой (причем кое-где они будут отрицательны, так как функция переменных издержек на первом заводе, если формально подставлять в нее маленькие нецелые ку, может принимать отрицательные значения).

Так что, ты не совсем четко сложил графики MC (из-за этого не увидел, что "общий" график MC имеет два участка и забыл так константу 2/3).

В итоге, две ошибки (решал в непрерывном случае, а не в дискретном + неправильно решил в непрерывном случае) скопенсировались, и у тебя вышел правильный ответ! Видимо, так.

Все понял) Тогда почему за это вообще какие-то баллы давали?? (8 баллов если не ошибаюсь)
Ну, видимо, за знание стандартного метода.
Я не проверял задачу, но, по-моему, 8/25 - вполне адекватная оценка за такое "наивно-непрерывное" решение.

Что ты утверждаешь, когда складываешь MC по горизонтали? Ты говоришь: надо распределить выпуск между заводами так, чтобы все три значения MC были равны (само по себе это, кстати, неочевидно - ты можешь объяснить, почему так?)

Однако, например, при $Q=6$ такое распределение потребовало бы поставить $q_1=7/3$, $q_2=2$, $q_3=5/3$, что невозможно, если табуретки целые. При любом целом $Q$ то распределение ку по заводам, которое ты рисуешь на картинке, где складываешь непрерывные графики MC, для фирмы просто недоступно! Что же тогда делать? Может, выпустить (2;2;2)? А может (1;2;3)? Где та наилучшая целочисленная комбинация выпусков, из наиболее близких к "идеальной", полученной сложением MC? Неужели придется вести такой перебор для каждого значения $Q$?

Оказывается, обойти эти "неудобные" вопросы можно, если придумать совершенно новый "чисто целочисленный" метод решения, не основывающийся на приближении "целый-непрерывный" и равенстве MC. Задача как раз поощряет тех участников, кто может отряхнуть догмы и продвинуться в этом направлении. Ну и всякие намеки на прогрессию для подсказки)

Про любые квадратичные я не исследовал. Здесь же, как мне показалось, "вред" для фирмы от целочисленности является константой из-за того, что оптимальные ку в непрерывном случае здесь все время одинаково "рассеяны" среди целых ку, которые фирме фактически приходится выбирать (а именно, одно все время на 1/3 больше, чем фактически выбирается, а другое на 1/3 меньше). Но это не только из-за квадратичности, но из-за того, что вторая функция издержек "ровно посередине" между первой и третьей.
Кстати сейчас только понял, что не учел некоторой ошибки 1 тура. В задачах 2 тура, среди которых была эта, не было ни одной задачи, кроме этой, где необходимо было использовать сумму прогрессии, а она была дана (формула) как подсказка фактически (на первой страничке) для этой задачи :)
Ну и название фирмы)